Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 34080 / 10017
↖ ↑ ↗
← N 82.008788°
W 86.396484°		 ← 42.45 m → N 82.008788°
W 86.393738°		 →
↑
42.49 m
↓
↑
42.49 m
↓
N 82.008405°
W 86.396484°		 ← 42.45 m →
1 804 m²		 N 82.008405°
W 86.393738°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34080 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10017 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.260013580322266 y=0.0764274597167969 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.260013580322266 × 217)
    floor (0.260013580322266 × 131072)
    floor (34080.5)     		tx = 34080
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0764274597167969 × 217)
    floor (0.0764274597167969 × 131072)
    floor (10017.5)     		ty = 10017
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 34080 / 10017 ti = "17/34080/10017"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/34080/10017.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34080 ÷ 217
    34080 ÷ 131072     		x = 0.260009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10017 ÷ 217
    10017 ÷ 131072     		y = 0.0764236450195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.260009765625 × 2 - 1) × π
    -0.47998046875 × 3.1415926535     		Λ = -1.50790311
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0764236450195312 × 2 - 1) × π
    0.847152709960938 × 3.1415926535     		Φ = 2.6614087300059
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.50790311} λ = -1.50790311}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.6614087300059))-π/2
    2×atan(14.3164429024049)-π/2
    2×1.50105984114325-π/2
    3.00211968228649-1.57079632675     		φ = 1.43132336
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.50790311} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -86.396484°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43132336 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.008788°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34080 KachelY 10017 -1.50790311 1.43132336 -86.396484 82.008788
    Oben rechts KachelX + 1 34081 KachelY 10017 -1.50785518 1.43132336 -86.393738 82.008788
    Unten links KachelX 34080 KachelY + 1 10018 -1.50790311 1.43131669 -86.396484 82.008405
    Unten rechts KachelX + 1 34081 KachelY + 1 10018 -1.50785518 1.43131669 -86.393738 82.008405
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43132336-1.43131669) × R
    6.66999999987539e-06 × 6371000     		dl = 42.4945699992061m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43132336-1.43131669) × R
    6.66999999987539e-06 × 6371000     		dr = 42.4945699992061m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.50790311--1.50785518) × cos(1.43132336) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.139021218578141 × 6371000     		do = 42.4518015181209m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.50790311--1.50785518) × cos(1.43131669) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.139027823805364 × 6371000     		du = 42.4538185037142m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43132336)-sin(1.43131669))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.139021218578141-0.139027823805364)×R²
    abs(-1.50785518--1.50790311)×6.60522722231716e-06×R²
    4.79300000000293e-05×6.60522722231716e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×6.60522722231716e-06×40589641000000     		ar = 1804.01390677632m²