Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3408 / 946
↖ ↑ ↗
← N 79.796745°
W 30.234375°		 ← 865.60 m → N 79.796745°
W 30.190430°		 →
↑
865.88 m
↓
↑
865.88 m
↓
N 79.788958°
W 30.234375°		 ← 866.25 m →
749 788 m²		 N 79.788958°
W 30.190430°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3408 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 946 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.41607666015625 y=0.11553955078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.41607666015625 × 213)
    floor (0.41607666015625 × 8192)
    floor (3408.5)     		tx = 3408
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.11553955078125 × 213)
    floor (0.11553955078125 × 8192)
    floor (946.5)     		ty = 946
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3408 / 946 ti = "13/3408/946"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3408/946.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3408 ÷ 213
    3408 ÷ 8192     		x = 0.416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 946 ÷ 213
    946 ÷ 8192     		y = 0.115478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.416015625 × 2 - 1) × π
    -0.16796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.52768939
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.115478515625 × 2 - 1) × π
    0.76904296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.41601974085083
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52768939} λ = -0.52768939}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41601974085083))-π/2
    2×atan(11.2011868434369)-π/2
    2×1.48175612978739-π/2
    2.96351225957478-1.57079632675     		φ = 1.39271593
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52768939} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.234375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39271593 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.796745°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3408 KachelY 946 -0.52768939 1.39271593 -30.234375 79.796745
    Oben rechts KachelX + 1 3409 KachelY 946 -0.52692240 1.39271593 -30.190430 79.796745
    Unten links KachelX 3408 KachelY + 1 947 -0.52768939 1.39258002 -30.234375 79.788958
    Unten rechts KachelX + 1 3409 KachelY + 1 947 -0.52692240 1.39258002 -30.190430 79.788958
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39271593-1.39258002) × R
    0.000135910000000017 × 6371000     		dl = 865.882610000107m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39271593-1.39258002) × R
    0.000135910000000017 × 6371000     		dr = 865.882610000107m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52768939--0.52692240) × cos(1.39271593) × R
    0.000766990000000023 × 0.177140655228867 × 6371000     		do = 865.59662316209m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52768939--0.52692240) × cos(1.39258002) × R
    0.000766990000000023 × 0.177274414249936 × 6371000     		du = 866.250235721016m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39271593)-sin(1.39258002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177140655228867-0.177274414249936)×R²
    abs(-0.52692240--0.52768939)×0.000133759021068131×R²
    0.000766990000000023×0.000133759021068131×6371000²
    0.000766990000000023×0.000133759021068131×40589641000000     		ar = 749788.040301494m²