Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 3408 / 938
↖ ↑ ↗
← N 79.858833°
W 30.234375°		 ← 860.38 m → N 79.858833°
W 30.190430°		 →
↑
860.72 m
↓
↑
860.72 m
↓
N 79.851093°
W 30.234375°		 ← 861.03 m →
740 832 m²		 N 79.851093°
W 30.190430°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3408 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 938 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.41607666015625 y=0.11456298828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.41607666015625 × 213)
    floor (0.41607666015625 × 8192)
    floor (3408.5)     		tx = 3408
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.11456298828125 × 213)
    floor (0.11456298828125 × 8192)
    floor (938.5)     		ty = 938
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3408 / 938 ti = "13/3408/938"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3408/938.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3408 ÷ 213
    3408 ÷ 8192     		x = 0.416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 938 ÷ 213
    938 ÷ 8192     		y = 0.114501953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.416015625 × 2 - 1) × π
    -0.16796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.52768939
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.114501953125 × 2 - 1) × π
    0.77099609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.4221556640022
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52768939} λ = -0.52768939}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4221556640022))-π/2
    2×atan(11.2701277568864)-π/2
    2×1.48229795274583-π/2
    2.96459590549165-1.57079632675     		φ = 1.39379958
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52768939} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.234375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39379958 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.858833°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3408 KachelY 938 -0.52768939 1.39379958 -30.234375 79.858833
    Oben rechts KachelX + 1 3409 KachelY 938 -0.52692240 1.39379958 -30.190430 79.858833
    Unten links KachelX 3408 KachelY + 1 939 -0.52768939 1.39366448 -30.234375 79.851093
    Unten rechts KachelX + 1 3409 KachelY + 1 939 -0.52692240 1.39366448 -30.190430 79.851093
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39379958-1.39366448) × R
    0.000135100000000055 × 6371000     		dl = 860.722100000348m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39379958-1.39366448) × R
    0.000135100000000055 × 6371000     		dr = 860.722100000348m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52768939--0.52692240) × cos(1.39379958) × R
    0.000766990000000023 × 0.17607403876317 × 6371000     		do = 860.384608959455m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52768939--0.52692240) × cos(1.39366448) × R
    0.000766990000000023 × 0.176207026478645 × 6371000     		du = 861.034452538778m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39379958)-sin(1.39366448))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.17607403876317-0.176207026478645)×R²
    abs(-0.52692240--0.52768939)×0.000132987715475236×R²
    0.000766990000000023×0.000132987715475236×6371000²
    0.000766990000000023×0.000132987715475236×40589641000000     		ar = 740831.715923045m²