Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34079 / 34721
↖ ↑ ↗
← S 10.666006°
E  7.201538°		 ← 600.24 m → S 10.666006°
E  7.207031°		 →
↑
600.21 m
↓
↑
600.21 m
↓
S 10.671404°
E  7.201538°		 ← 600.22 m →
360 265 m²		 S 10.671404°
E  7.207031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34079 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34721 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520011901855469 y=0.529808044433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520011901855469 × 216)
    floor (0.520011901855469 × 65536)
    floor (34079.5)     		tx = 34079
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.529808044433594 × 216)
    floor (0.529808044433594 × 65536)
    floor (34721.5)     		ty = 34721
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34079 / 34721 ti = "16/34079/34721"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34079/34721.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34079 ÷ 216
    34079 ÷ 65536     		x = 0.520004272460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34721 ÷ 216
    34721 ÷ 65536     		y = 0.529800415039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520004272460938 × 2 - 1) × π
    0.040008544921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.12569055
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.529800415039062 × 2 - 1) × π
    -0.059600830078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.187241529915939
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12569055} λ = 0.12569055}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.187241529915939))-π/2
    2×atan(0.829243425101036)-π/2
    2×0.692319699771392-π/2
    1.38463939954278-1.57079632675     		φ = -0.18615693
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12569055} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.201538°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18615693 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.666006°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34079 KachelY 34721 0.12569055 -0.18615693 7.201538 -10.666006
    Oben rechts KachelX + 1 34080 KachelY 34721 0.12578642 -0.18615693 7.207031 -10.666006
    Unten links KachelX 34079 KachelY + 1 34722 0.12569055 -0.18625114 7.201538 -10.671404
    Unten rechts KachelX + 1 34080 KachelY + 1 34722 0.12578642 -0.18625114 7.207031 -10.671404
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18615693--0.18625114) × R
    9.42100000000112e-05 × 6371000     		dl = 600.211910000071m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18615693--0.18625114) × R
    9.42100000000112e-05 × 6371000     		dr = 600.211910000071m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12569055-0.12578642) × cos(-0.18615693) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.982722779591036 × 6371000     		do = 600.235055074597m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12569055-0.12578642) × cos(-0.18625114) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.982705338504147 × 6371000     		du = 600.22440227203m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18615693)-sin(-0.18625114))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.982722779591036-0.982705338504147)×R²
    abs(0.12578642-0.12569055)×1.74410868886143e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.74410868886143e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.74410868886143e-05×40589641000000     		ar = 360265.032152354m²