Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 34079 / 34355
↖ ↑ ↗
← S  8.684209°
E  7.201538°		 ← 603.79 m → S  8.684209°
E  7.207031°		 →
↑
603.78 m
↓
↑
603.78 m
↓
S  8.689639°
E  7.201538°		 ← 603.78 m →
364 551 m²		 S  8.689639°
E  7.207031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34079 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34355 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520011901855469 y=0.524223327636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520011901855469 × 216)
    floor (0.520011901855469 × 65536)
    floor (34079.5)     		tx = 34079
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524223327636719 × 216)
    floor (0.524223327636719 × 65536)
    floor (34355.5)     		ty = 34355
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34079 / 34355 ti = "16/34079/34355"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34079/34355.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34079 ÷ 216
    34079 ÷ 65536     		x = 0.520004272460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34355 ÷ 216
    34355 ÷ 65536     		y = 0.524215698242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520004272460938 × 2 - 1) × π
    0.040008544921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.12569055
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.524215698242188 × 2 - 1) × π
    -0.048431396484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.152151719394058
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12569055} λ = 0.12569055}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.152151719394058))-π/2
    2×atan(0.858857965445595)-π/2
    2×0.709614144111007-π/2
    1.41922828822201-1.57079632675     		φ = -0.15156804
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12569055} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.201538°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15156804 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.684209°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34079 KachelY 34355 0.12569055 -0.15156804 7.201538 -8.684209
    Oben rechts KachelX + 1 34080 KachelY 34355 0.12578642 -0.15156804 7.207031 -8.684209
    Unten links KachelX 34079 KachelY + 1 34356 0.12569055 -0.15166281 7.201538 -8.689639
    Unten rechts KachelX + 1 34080 KachelY + 1 34356 0.12578642 -0.15166281 7.207031 -8.689639
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15156804--0.15166281) × R
    9.47700000000218e-05 × 6371000     		dl = 603.779670000139m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15156804--0.15166281) × R
    9.47700000000218e-05 × 6371000     		dr = 603.779670000139m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12569055-0.12578642) × cos(-0.15156804) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.988535537492904 × 6371000     		do = 603.785416511029m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12569055-0.12578642) × cos(-0.15166281) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.988521223884891 × 6371000     		du = 603.77667393431m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15156804)-sin(-0.15166281))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988535537492904-0.988521223884891)×R²
    abs(0.12578642-0.12569055)×1.43136080130724e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.43136080130724e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.43136080130724e-05×40589641000000     		ar = 364550.720509666m²