Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 34078 / 21282
↖ ↑ ↗
← N 76.329844°
W 86.401978°		 ← 72.18 m → N 76.329844°
W 86.399231°		 →
↑
72.18 m
↓
↑
72.18 m
↓
N 76.329195°
W 86.401978°		 ← 72.19 m →
5 210 m²		 N 76.329195°
W 86.399231°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34078 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21282 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.259998321533203 y=0.162372589111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.259998321533203 × 217)
    floor (0.259998321533203 × 131072)
    floor (34078.5)     		tx = 34078
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.162372589111328 × 217)
    floor (0.162372589111328 × 131072)
    floor (21282.5)     		ty = 21282
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 34078 / 21282 ti = "17/34078/21282"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/34078/21282.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34078 ÷ 217
    34078 ÷ 131072     		x = 0.259994506835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21282 ÷ 217
    21282 ÷ 131072     		y = 0.162368774414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.259994506835938 × 2 - 1) × π
    -0.480010986328125 × 3.1415926535     		Λ = -1.50799899
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.162368774414062 × 2 - 1) × π
    0.675262451171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.12139955578597
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.50799899} λ = -1.50799899}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12139955578597))-π/2
    2×atan(8.3428055425045)-π/2
    2×1.45150171381117-π/2
    2.90300342762233-1.57079632675     		φ = 1.33220710
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.50799899} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -86.401978°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33220710 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.329844°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34078 KachelY 21282 -1.50799899 1.33220710 -86.401978 76.329844
    Oben rechts KachelX + 1 34079 KachelY 21282 -1.50795105 1.33220710 -86.399231 76.329844
    Unten links KachelX 34078 KachelY + 1 21283 -1.50799899 1.33219577 -86.401978 76.329195
    Unten rechts KachelX + 1 34079 KachelY + 1 21283 -1.50795105 1.33219577 -86.399231 76.329195
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33220710-1.33219577) × R
    1.13299999999761e-05 × 6371000     		dl = 72.1834299998476m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33220710-1.33219577) × R
    1.13299999999761e-05 × 6371000     		dr = 72.1834299998476m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.50799899--1.50795105) × cos(1.33220710) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.236332052746198 × 6371000     		do = 72.1818920956792m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.50799899--1.50795105) × cos(1.33219577) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.236343061778784 × 6371000     		du = 72.1852545376035m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33220710)-sin(1.33219577))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.236332052746198-0.236343061778784)×R²
    abs(-1.50795105--1.50799899)×1.1009032586079e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.1009032586079e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.1009032586079e-05×40589641000000     		ar = 5210.45791164214m²