Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34076 / 34681
↖ ↑ ↗
← S 10.450000°
E  7.185059°		 ← 600.66 m → S 10.450000°
E  7.190552°		 →
↑
600.72 m
↓
↑
600.72 m
↓
S 10.455402°
E  7.185059°		 ← 600.65 m →
360 824 m²		 S 10.455402°
E  7.190552°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34076 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34681 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519966125488281 y=0.529197692871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519966125488281 × 216)
    floor (0.519966125488281 × 65536)
    floor (34076.5)     		tx = 34076
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.529197692871094 × 216)
    floor (0.529197692871094 × 65536)
    floor (34681.5)     		ty = 34681
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34076 / 34681 ti = "16/34076/34681"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34076/34681.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34076 ÷ 216
    34076 ÷ 65536     		x = 0.51995849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34681 ÷ 216
    34681 ÷ 65536     		y = 0.529190063476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51995849609375 × 2 - 1) × π
    0.0399169921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.12540293
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.529190063476562 × 2 - 1) × π
    -0.058380126953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.183406577946335
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12540293} λ = 0.12540293}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.183406577946335))-π/2
    2×atan(0.832429639391862)-π/2
    2×0.694204711538012-π/2
    1.38840942307602-1.57079632675     		φ = -0.18238690
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12540293} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.185059°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18238690 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.450000°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34076 KachelY 34681 0.12540293 -0.18238690 7.185059 -10.450000
    Oben rechts KachelX + 1 34077 KachelY 34681 0.12549880 -0.18238690 7.190552 -10.450000
    Unten links KachelX 34076 KachelY + 1 34682 0.12540293 -0.18248119 7.185059 -10.455402
    Unten rechts KachelX + 1 34077 KachelY + 1 34682 0.12549880 -0.18248119 7.190552 -10.455402
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18238690--0.18248119) × R
    9.42899999999969e-05 × 6371000     		dl = 600.72158999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18238690--0.18248119) × R
    9.42899999999969e-05 × 6371000     		dr = 600.72158999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12540293-0.12549880) × cos(-0.18238690) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.9834135648842 × 6371000     		do = 600.656978283358m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12540293-0.12549880) × cos(-0.18248119) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.983396458437825 × 6371000     		du = 600.646529875123m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18238690)-sin(-0.18248119))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.9834135648842-0.983396458437825)×R²
    abs(0.12549880-0.12540293)×1.71064463755366e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.71064463755366e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.71064463755366e-05×40589641000000     		ar = 360824.477014032m²