Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34071 / 34648
↖ ↑ ↗
← S 10.271681°
E  7.157593°		 ← 601 m → S 10.271681°
E  7.163086°		 →
↑
600.98 m
↓
↑
600.98 m
↓
S 10.277086°
E  7.157593°		 ← 600.99 m →
361 183 m²		 S 10.277086°
E  7.163086°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34071 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34648 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519889831542969 y=0.528694152832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519889831542969 × 216)
    floor (0.519889831542969 × 65536)
    floor (34071.5)     		tx = 34071
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.528694152832031 × 216)
    floor (0.528694152832031 × 65536)
    floor (34648.5)     		ty = 34648
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34071 / 34648 ti = "16/34071/34648"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34071/34648.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34071 ÷ 216
    34071 ÷ 65536     		x = 0.519882202148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34648 ÷ 216
    34648 ÷ 65536     		y = 0.5286865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519882202148438 × 2 - 1) × π
    0.039764404296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.12492356
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5286865234375 × 2 - 1) × π
    -0.057373046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.180242742571411
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12492356} λ = 0.12492356}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.180242742571411))-π/2
    2×atan(0.835067480379052)-π/2
    2×0.695760834784867-π/2
    1.39152166956973-1.57079632675     		φ = -0.17927466
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12492356} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.157593°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17927466 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.271681°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34071 KachelY 34648 0.12492356 -0.17927466 7.157593 -10.271681
    Oben rechts KachelX + 1 34072 KachelY 34648 0.12501943 -0.17927466 7.163086 -10.271681
    Unten links KachelX 34071 KachelY + 1 34649 0.12492356 -0.17936899 7.157593 -10.277086
    Unten rechts KachelX + 1 34072 KachelY + 1 34649 0.12501943 -0.17936899 7.163086 -10.277086
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17927466--0.17936899) × R
    9.43300000000036e-05 × 6371000     		dl = 600.976430000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17927466--0.17936899) × R
    9.43300000000036e-05 × 6371000     		dr = 600.976430000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12492356-0.12501943) × cos(-0.17927466) × R
    9.5869999999984e-05 × 0.98397329127854 × 6371000     		do = 600.99885231948m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12492356-0.12501943) × cos(-0.17936899) × R
    9.5869999999984e-05 × 0.983956466361456 × 6371000     		du = 600.988575865894m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17927466)-sin(-0.17936899))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98397329127854-0.983956466361456)×R²
    abs(0.12501943-0.12492356)×1.68249170838797e-05×R²
    9.5869999999984e-05×1.68249170838797e-05×6371000²
    9.5869999999984e-05×1.68249170838797e-05×40589641000000     		ar = 361183.057015679m²