Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34069 / 34121
↖ ↑ ↗
← S  7.411495°
E  7.146606°		 ← 605.75 m → S  7.411495°
E  7.152100°		 →
↑
605.69 m
↓
↑
605.69 m
↓
S  7.416942°
E  7.146606°		 ← 605.74 m →
366 894 m²		 S  7.416942°
E  7.152100°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34069 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34121 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519859313964844 y=0.520652770996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519859313964844 × 216)
    floor (0.519859313964844 × 65536)
    floor (34069.5)     		tx = 34069
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.520652770996094 × 216)
    floor (0.520652770996094 × 65536)
    floor (34121.5)     		ty = 34121
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34069 / 34121 ti = "16/34069/34121"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34069/34121.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34069 ÷ 216
    34069 ÷ 65536     		x = 0.519851684570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34121 ÷ 216
    34121 ÷ 65536     		y = 0.520645141601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519851684570312 × 2 - 1) × π
    0.039703369140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12473181
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.520645141601562 × 2 - 1) × π
    -0.041290283203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.129717250371872
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12473181} λ = 0.12473181}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.129717250371872))-π/2
    2×atan(0.878343747181126)-π/2
    2×0.720720668092681-π/2
    1.44144133618536-1.57079632675     		φ = -0.12935499
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12473181} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.146606°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.12935499 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.411495°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34069 KachelY 34121 0.12473181 -0.12935499 7.146606 -7.411495
    Oben rechts KachelX + 1 34070 KachelY 34121 0.12482769 -0.12935499 7.152100 -7.411495
    Unten links KachelX 34069 KachelY + 1 34122 0.12473181 -0.12945006 7.146606 -7.416942
    Unten rechts KachelX + 1 34070 KachelY + 1 34122 0.12482769 -0.12945006 7.152100 -7.416942
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.12935499--0.12945006) × R
    9.50700000000027e-05 × 6371000     		dl = 605.690970000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.12935499--0.12945006) × R
    9.50700000000027e-05 × 6371000     		dr = 605.690970000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12473181-0.12482769) × cos(-0.12935499) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.991645302763664 × 6371000     		do = 605.748000828274m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12473181-0.12482769) × cos(-0.12945006) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.991633034770574 × 6371000     		du = 605.740506906538m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.12935499)-sin(-0.12945006))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.991645302763664-0.991633034770574)×R²
    abs(0.12482769-0.12473181)×1.2267993090509e-05×R²
    9.58800000000065e-05×1.2267993090509e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×1.2267993090509e-05×40589641000000     		ar = 366893.824973229m²