Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34068 / 34120
↖ ↑ ↗
← S  7.406048°
E  7.141113°		 ← 605.69 m → S  7.406048°
E  7.146606°		 →
↑
605.69 m
↓
↑
605.69 m
↓
S  7.411495°
E  7.141113°		 ← 605.68 m →
366 860 m²		 S  7.411495°
E  7.146606°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34068 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34120 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519844055175781 y=0.520637512207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519844055175781 × 216)
    floor (0.519844055175781 × 65536)
    floor (34068.5)     		tx = 34068
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.520637512207031 × 216)
    floor (0.520637512207031 × 65536)
    floor (34120.5)     		ty = 34120
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34068 / 34120 ti = "16/34068/34120"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34068/34120.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34068 ÷ 216
    34068 ÷ 65536     		x = 0.51983642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34120 ÷ 216
    34120 ÷ 65536     		y = 0.5206298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51983642578125 × 2 - 1) × π
    0.0396728515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12463594
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5206298828125 × 2 - 1) × π
    -0.041259765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.129621376572632
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12463594} λ = 0.12463594}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.129621376572632))-π/2
    2×atan(0.878427961370109)-π/2
    2×0.72076820478789-π/2
    1.44153640957578-1.57079632675     		φ = -0.12925992
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12463594} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.141113°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.12925992 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.406048°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34068 KachelY 34120 0.12463594 -0.12925992 7.141113 -7.406048
    Oben rechts KachelX + 1 34069 KachelY 34120 0.12473181 -0.12925992 7.146606 -7.406048
    Unten links KachelX 34068 KachelY + 1 34121 0.12463594 -0.12935499 7.141113 -7.411495
    Unten rechts KachelX + 1 34069 KachelY + 1 34121 0.12473181 -0.12935499 7.146606 -7.411495
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.12925992--0.12935499) × R
    9.50700000000027e-05 × 6371000     		dl = 605.690970000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.12925992--0.12935499) × R
    9.50700000000027e-05 × 6371000     		dr = 605.690970000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12463594-0.12473181) × cos(-0.12925992) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.991657561793962 × 6371000     		do = 605.692310771758m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12463594-0.12473181) × cos(-0.12935499) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.991645302763664 × 6371000     		du = 605.68482310598m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.12925992)-sin(-0.12935499))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.991657561793962-0.991645302763664)×R²
    abs(0.12473181-0.12463594)×1.22590302977788e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.22590302977788e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.22590302977788e-05×40589641000000     		ar = 366860.095903519m²