Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34066 / 34510
↖ ↑ ↗
← S  9.524915°
E  7.130127°		 ← 602.43 m → S  9.524915°
E  7.135620°		 →
↑
602.38 m
↓
↑
602.38 m
↓
S  9.530332°
E  7.130127°		 ← 602.42 m →
362 888 m²		 S  9.530332°
E  7.135620°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34066 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34510 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519813537597656 y=0.526588439941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519813537597656 × 216)
    floor (0.519813537597656 × 65536)
    floor (34066.5)     		tx = 34066
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.526588439941406 × 216)
    floor (0.526588439941406 × 65536)
    floor (34510.5)     		ty = 34510
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34066 / 34510 ti = "16/34066/34510"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34066/34510.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34066 ÷ 216
    34066 ÷ 65536     		x = 0.519805908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34510 ÷ 216
    34510 ÷ 65536     		y = 0.526580810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519805908203125 × 2 - 1) × π
    0.03961181640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12444419
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.526580810546875 × 2 - 1) × π
    -0.05316162109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.167012158276276
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12444419} λ = 0.12444419}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.167012158276276))-π/2
    2×atan(0.846189323071073)-π/2
    2×0.702277605626685-π/2
    1.40455521125337-1.57079632675     		φ = -0.16624112
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12444419} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.130127°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16624112 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.524915°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34066 KachelY 34510 0.12444419 -0.16624112 7.130127 -9.524915
    Oben rechts KachelX + 1 34067 KachelY 34510 0.12454007 -0.16624112 7.135620 -9.524915
    Unten links KachelX 34066 KachelY + 1 34511 0.12444419 -0.16633567 7.130127 -9.530332
    Unten rechts KachelX + 1 34067 KachelY + 1 34511 0.12454007 -0.16633567 7.135620 -9.530332
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16624112--0.16633567) × R
    9.45499999999988e-05 × 6371000     		dl = 602.378049999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16624112--0.16633567) × R
    9.45499999999988e-05 × 6371000     		dr = 602.378049999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12444419-0.12454007) × cos(-0.16624112) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.986213738816754 × 6371000     		do = 602.430121952589m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12444419-0.12454007) × cos(-0.16633567) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.986198088608526 × 6371000     		du = 602.42056199973m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16624112)-sin(-0.16633567))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.986213738816754-0.986198088608526)×R²
    abs(0.12454007-0.12444419)×1.56502082282461e-05×R²
    9.58800000000065e-05×1.56502082282461e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×1.56502082282461e-05×40589641000000     		ar = 362887.80304051m²