Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34066 / 34452
↖ ↑ ↗
← S  9.210560°
E  7.130127°		 ← 602.98 m → S  9.210560°
E  7.135620°		 →
↑
602.95 m
↓
↑
602.95 m
↓
S  9.215983°
E  7.130127°		 ← 602.97 m →
363 562 m²		 S  9.215983°
E  7.135620°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34066 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34452 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519813537597656 y=0.525703430175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519813537597656 × 216)
    floor (0.519813537597656 × 65536)
    floor (34066.5)     		tx = 34066
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.525703430175781 × 216)
    floor (0.525703430175781 × 65536)
    floor (34452.5)     		ty = 34452
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34066 / 34452 ti = "16/34066/34452"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34066/34452.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34066 ÷ 216
    34066 ÷ 65536     		x = 0.519805908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34452 ÷ 216
    34452 ÷ 65536     		y = 0.52569580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519805908203125 × 2 - 1) × π
    0.03961181640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12444419
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52569580078125 × 2 - 1) × π
    -0.0513916015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.161451477920349
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12444419} λ = 0.12444419}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.161451477920349))-π/2
    2×atan(0.850907818280638)-π/2
    2×0.705020863484235-π/2
    1.41004172696847-1.57079632675     		φ = -0.16075460
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12444419} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.130127°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16075460 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.210560°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34066 KachelY 34452 0.12444419 -0.16075460 7.130127 -9.210560
    Oben rechts KachelX + 1 34067 KachelY 34452 0.12454007 -0.16075460 7.135620 -9.210560
    Unten links KachelX 34066 KachelY + 1 34453 0.12444419 -0.16084924 7.130127 -9.215983
    Unten rechts KachelX + 1 34067 KachelY + 1 34453 0.12454007 -0.16084924 7.135620 -9.215983
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16075460--0.16084924) × R
    9.46400000000069e-05 × 6371000     		dl = 602.951440000044m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16075460--0.16084924) × R
    9.46400000000069e-05 × 6371000     		dr = 602.951440000044m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12444419-0.12454007) × cos(-0.16075460) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.987106780794286 × 6371000     		do = 602.975637966266m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12444419-0.12454007) × cos(-0.16084924) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.987091627999734 × 6371000     		du = 602.966381859288m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16075460)-sin(-0.16084924))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987106780794286-0.987091627999734)×R²
    abs(0.12454007-0.12444419)×1.51527945521091e-05×R²
    9.58800000000065e-05×1.51527945521091e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×1.51527945521091e-05×40589641000000     		ar = 363562.238976518m²