Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34065 / 34456
↖ ↑ ↗
← S  9.232249°
E  7.124634°		 ← 602.88 m → S  9.232249°
E  7.130127°		 →
↑
602.89 m
↓
↑
602.89 m
↓
S  9.237671°
E  7.124634°		 ← 602.87 m →
363 464 m²		 S  9.237671°
E  7.130127°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34065 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34456 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519798278808594 y=0.525764465332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519798278808594 × 216)
    floor (0.519798278808594 × 65536)
    floor (34065.5)     		tx = 34065
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.525764465332031 × 216)
    floor (0.525764465332031 × 65536)
    floor (34456.5)     		ty = 34456
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34065 / 34456 ti = "16/34065/34456"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34065/34456.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34065 ÷ 216
    34065 ÷ 65536     		x = 0.519790649414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34456 ÷ 216
    34456 ÷ 65536     		y = 0.5257568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519790649414062 × 2 - 1) × π
    0.039581298828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12434832
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5257568359375 × 2 - 1) × π
    -0.051513671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.16183497311731
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12434832} λ = 0.12434832}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.16183497311731))-π/2
    2×atan(0.85058156178217)-π/2
    2×0.704831593943156-π/2
    1.40966318788631-1.57079632675     		φ = -0.16113314
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12434832} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.124634°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16113314 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.232249°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34065 KachelY 34456 0.12434832 -0.16113314 7.124634 -9.232249
    Oben rechts KachelX + 1 34066 KachelY 34456 0.12444419 -0.16113314 7.130127 -9.232249
    Unten links KachelX 34065 KachelY + 1 34457 0.12434832 -0.16122777 7.124634 -9.237671
    Unten rechts KachelX + 1 34066 KachelY + 1 34457 0.12444419 -0.16122777 7.130127 -9.237671
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16113314--0.16122777) × R
    9.46299999999844e-05 × 6371000     		dl = 602.887729999901m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16113314--0.16122777) × R
    9.46299999999844e-05 × 6371000     		dr = 602.887729999901m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12434832-0.12444419) × cos(-0.16113314) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.98704611977868 × 6371000     		do = 602.875698386759m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12434832-0.12444419) × cos(-0.16122777) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.987030933227662 × 6371000     		du = 602.866422627129m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16113314)-sin(-0.16122777))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98704611977868-0.987030933227662)×R²
    abs(0.12444419-0.12434832)×1.51865510181759e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.51865510181759e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.51865510181759e-05×40589641000000     		ar = 363463.565422957m²