Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34065 / 34371
↖ ↑ ↗
← S  8.771082°
E  7.124634°		 ← 603.64 m → S  8.771082°
E  7.130127°		 →
↑
603.65 m
↓
↑
603.65 m
↓
S  8.776511°
E  7.124634°		 ← 603.64 m →
364 389 m²		 S  8.776511°
E  7.130127°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34065 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34371 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519798278808594 y=0.524467468261719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519798278808594 × 216)
    floor (0.519798278808594 × 65536)
    floor (34065.5)     		tx = 34065
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524467468261719 × 216)
    floor (0.524467468261719 × 65536)
    floor (34371.5)     		ty = 34371
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34065 / 34371 ti = "16/34065/34371"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34065/34371.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34065 ÷ 216
    34065 ÷ 65536     		x = 0.519790649414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34371 ÷ 216
    34371 ÷ 65536     		y = 0.524459838867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519790649414062 × 2 - 1) × π
    0.039581298828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12434832
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.524459838867188 × 2 - 1) × π
    -0.048919677734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.1536857001819
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12434832} λ = 0.12434832}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.1536857001819))-π/2
    2×atan(0.857541503798701)-π/2
    2×0.70885603493752-π/2
    1.41771206987504-1.57079632675     		φ = -0.15308426
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12434832} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.124634°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15308426 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.771082°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34065 KachelY 34371 0.12434832 -0.15308426 7.124634 -8.771082
    Oben rechts KachelX + 1 34066 KachelY 34371 0.12444419 -0.15308426 7.130127 -8.771082
    Unten links KachelX 34065 KachelY + 1 34372 0.12434832 -0.15317901 7.124634 -8.776511
    Unten rechts KachelX + 1 34066 KachelY + 1 34372 0.12444419 -0.15317901 7.130127 -8.776511
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15308426--0.15317901) × R
    9.47500000000046e-05 × 6371000     		dl = 603.652250000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15308426--0.15317901) × R
    9.47500000000046e-05 × 6371000     		dr = 603.652250000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12434832-0.12444419) × cos(-0.15308426) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.988305469694631 × 6371000     		do = 603.644893913573m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12434832-0.12444419) × cos(-0.15317901) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.988291017110952 × 6371000     		du = 603.636066452217m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15308426)-sin(-0.15317901))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988305469694631-0.988291017110952)×R²
    abs(0.12444419-0.12434832)×1.44525836793807e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.44525836793807e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.44525836793807e-05×40589641000000     		ar = 364388.934326141m²