Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34063 / 36141
↖ ↑ ↗
← S 18.213698°
E  7.113647°		 ← 580.19 m → S 18.213698°
E  7.119140°		 →
↑
580.21 m
↓
↑
580.21 m
↓
S 18.218916°
E  7.113647°		 ← 580.17 m →
336 623 m²		 S 18.218916°
E  7.119140°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34063 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36141 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519767761230469 y=0.551475524902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519767761230469 × 216)
    floor (0.519767761230469 × 65536)
    floor (34063.5)     		tx = 34063
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.551475524902344 × 216)
    floor (0.551475524902344 × 65536)
    floor (36141.5)     		ty = 36141
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34063 / 36141 ti = "16/34063/36141"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34063/36141.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34063 ÷ 216
    34063 ÷ 65536     		x = 0.519760131835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36141 ÷ 216
    36141 ÷ 65536     		y = 0.551467895507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519760131835938 × 2 - 1) × π
    0.039520263671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.12415657
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.551467895507812 × 2 - 1) × π
    -0.102935791015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.323382324836899
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12415657} λ = 0.12415657}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.323382324836899))-π/2
    2×atan(0.723697114087837)-π/2
    2×0.626453661983093-π/2
    1.25290732396619-1.57079632675     		φ = -0.31788900
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12415657} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.113647°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.31788900 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.213698°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34063 KachelY 36141 0.12415657 -0.31788900 7.113647 -18.213698
    Oben rechts KachelX + 1 34064 KachelY 36141 0.12425244 -0.31788900 7.119140 -18.213698
    Unten links KachelX 34063 KachelY + 1 36142 0.12415657 -0.31798007 7.113647 -18.218916
    Unten rechts KachelX + 1 34064 KachelY + 1 36142 0.12425244 -0.31798007 7.119140 -18.218916
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.31788900--0.31798007) × R
    9.10700000000264e-05 × 6371000     		dl = 580.206970000168m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.31788900--0.31798007) × R
    9.10700000000264e-05 × 6371000     		dr = 580.206970000168m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12415657-0.12425244) × cos(-0.31788900) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.94989735255062 × 6371000     		do = 580.185685693368m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12415657-0.12425244) × cos(-0.31798007) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.949868883587918 × 6371000     		du = 580.168297199125m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.31788900)-sin(-0.31798007))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.94989735255062-0.949868883587918)×R²
    abs(0.12425244-0.12415657)×2.84689627016999e-05×R²
    9.58700000000118e-05×2.84689627016999e-05×6371000²
    9.58700000000118e-05×2.84689627016999e-05×40589641000000     		ar = 336622.734503432m²