Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 34062 / 36142
↖ ↑ ↗
← S 18.218916°
E  7.108155°		 ← 580.17 m → S 18.218916°
E  7.113647°		 →
↑
580.21 m
↓
↑
580.21 m
↓
S 18.224134°
E  7.108155°		 ← 580.15 m →
336 613 m²		 S 18.224134°
E  7.113647°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34062 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36142 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519752502441406 y=0.551490783691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519752502441406 × 216)
    floor (0.519752502441406 × 65536)
    floor (34062.5)     		tx = 34062
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.551490783691406 × 216)
    floor (0.551490783691406 × 65536)
    floor (36142.5)     		ty = 36142
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34062 / 36142 ti = "16/34062/36142"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34062/36142.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34062 ÷ 216
    34062 ÷ 65536     		x = 0.519744873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36142 ÷ 216
    36142 ÷ 65536     		y = 0.551483154296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519744873046875 × 2 - 1) × π
    0.03948974609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.12406070
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.551483154296875 × 2 - 1) × π
    -0.10296630859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.323478198636139
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12406070} λ = 0.12406070}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.323478198636139))-π/2
    2×atan(0.723627733821939)-π/2
    2×0.626408127531418-π/2
    1.25281625506284-1.57079632675     		φ = -0.31798007
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12406070} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.108155°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.31798007 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.218916°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34062 KachelY 36142 0.12406070 -0.31798007 7.108155 -18.218916
    Oben rechts KachelX + 1 34063 KachelY 36142 0.12415657 -0.31798007 7.113647 -18.218916
    Unten links KachelX 34062 KachelY + 1 36143 0.12406070 -0.31807114 7.108155 -18.224134
    Unten rechts KachelX + 1 34063 KachelY + 1 36143 0.12415657 -0.31807114 7.113647 -18.224134
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.31798007--0.31807114) × R
    9.10699999999709e-05 × 6371000     		dl = 580.206969999815m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.31798007--0.31807114) × R
    9.10699999999709e-05 × 6371000     		dr = 580.206969999815m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12406070-0.12415657) × cos(-0.31798007) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.949868883587918 × 6371000     		do = 580.168297199041m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12406070-0.12415657) × cos(-0.31807114) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.949840406747246 × 6371000     		du = 580.150903893031m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.31798007)-sin(-0.31807114))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.949868883587918-0.949840406747246)×R²
    abs(0.12415657-0.12406070)×2.8476840671865e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.8476840671865e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.8476840671865e-05×40589641000000     		ar = 336612.644181817m²