Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 34060 / 9996
↖ ↑ ↗
← N 82.016802°
W 86.451416°		 ← 42.41 m → N 82.016802°
W 86.448670°		 →
↑
42.37 m
↓
↑
42.37 m
↓
N 82.016421°
W 86.451416°		 ← 42.41 m →
1 797 m²		 N 82.016421°
W 86.448670°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34060 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9996 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.259860992431641 y=0.0762672424316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.259860992431641 × 217)
    floor (0.259860992431641 × 131072)
    floor (34060.5)     		tx = 34060
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0762672424316406 × 217)
    floor (0.0762672424316406 × 131072)
    floor (9996.5)     		ty = 9996
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 34060 / 9996 ti = "17/34060/9996"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/34060/9996.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34060 ÷ 217
    34060 ÷ 131072     		x = 0.259857177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9996 ÷ 217
    9996 ÷ 131072     		y = 0.076263427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.259857177734375 × 2 - 1) × π
    -0.48028564453125 × 3.1415926535     		Λ = -1.50886185
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.076263427734375 × 2 - 1) × π
    0.84747314453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.66241540489792
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.50886185} λ = -1.50886185}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.66241540489792))-π/2
    2×atan(14.3308621625537)-π/2
    2×1.50112978086314-π/2
    3.00225956172628-1.57079632675     		φ = 1.43146323
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.50886185} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -86.451416°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43146323 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.016802°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34060 KachelY 9996 -1.50886185 1.43146323 -86.451416 82.016802
    Oben rechts KachelX + 1 34061 KachelY 9996 -1.50881392 1.43146323 -86.448670 82.016802
    Unten links KachelX 34060 KachelY + 1 9997 -1.50886185 1.43145658 -86.451416 82.016421
    Unten rechts KachelX + 1 34061 KachelY + 1 9997 -1.50881392 1.43145658 -86.448670 82.016421
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43146323-1.43145658) × R
    6.64999999999694e-06 × 6371000     		dl = 42.3671499999805m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43146323-1.43145658) × R
    6.64999999999694e-06 × 6371000     		dr = 42.3671499999805m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.50886185--1.50881392) × cos(1.43146323) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.138882705439981 × 6371000     		do = 42.4095048650705m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.50886185--1.50881392) × cos(1.43145658) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.138889290990681 × 6371000     		du = 42.4115158422009m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43146323)-sin(1.43145658))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.138882705439981-0.138889290990681)×R²
    abs(-1.50881392--1.50886185)×6.58555070012778e-06×R²
    4.79300000000293e-05×6.58555070012778e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×6.58555070012778e-06×40589641000000     		ar = 1796.81245384418m²