Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3406 / 943
↖ ↑ ↗
← N 79.820072°
W 30.322266°		 ← 863.64 m → N 79.820072°
W 30.278320°		 →
↑
863.97 m
↓
↑
863.97 m
↓
N 79.812302°
W 30.322266°		 ← 864.29 m →
746 441 m²		 N 79.812302°
W 30.278320°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3406 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 943 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.41583251953125 y=0.11517333984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.41583251953125 × 213)
    floor (0.41583251953125 × 8192)
    floor (3406.5)     		tx = 3406
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.11517333984375 × 213)
    floor (0.11517333984375 × 8192)
    floor (943.5)     		ty = 943
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3406 / 943 ti = "13/3406/943"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3406/943.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3406 ÷ 213
    3406 ÷ 8192     		x = 0.415771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 943 ÷ 213
    943 ÷ 8192     		y = 0.1151123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.415771484375 × 2 - 1) × π
    -0.16845703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.52922337
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1151123046875 × 2 - 1) × π
    0.769775390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.41832071203259
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52922337} λ = -0.52922337}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41832071203259))-π/2
    2×atan(11.226990126486)-π/2
    2×1.48195969696567-π/2
    2.96391939393134-1.57079632675     		φ = 1.39312307
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52922337} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.322266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39312307 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.820072°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3406 KachelY 943 -0.52922337 1.39312307 -30.322266 79.820072
    Oben rechts KachelX + 1 3407 KachelY 943 -0.52845638 1.39312307 -30.278320 79.820072
    Unten links KachelX 3406 KachelY + 1 944 -0.52922337 1.39298746 -30.322266 79.812302
    Unten rechts KachelX + 1 3407 KachelY + 1 944 -0.52845638 1.39298746 -30.278320 79.812302
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39312307-1.39298746) × R
    0.000135609999999842 × 6371000     		dl = 863.971309998991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39312307-1.39298746) × R
    0.000135609999999842 × 6371000     		dr = 863.971309998991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52922337--0.52845638) × cos(1.39312307) × R
    0.000766990000000023 × 0.176739939255201 × 6371000     		do = 863.638527245572m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52922337--0.52845638) × cos(1.39298746) × R
    0.000766990000000023 × 0.17687341280078 × 6371000     		du = 864.290744830438m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39312307)-sin(1.39298746))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.176739939255201-0.17687341280078)×R²
    abs(-0.52845638--0.52922337)×0.00013347354557916×R²
    0.000766990000000023×0.00013347354557916×6371000²
    0.000766990000000023×0.00013347354557916×40589641000000     		ar = 746440.659537095m²