Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34053 / 21253
↖ ↑ ↗
← N 53.314468°
E  7.058716°		 ← 364.94 m → N 53.314468°
E  7.064209°		 →
↑
364.93 m
↓
↑
364.93 m
↓
N 53.311186°
E  7.058716°		 ← 364.96 m →
133 182 m²		 N 53.311186°
E  7.064209°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34053 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21253 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519615173339844 y=0.324302673339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519615173339844 × 216)
    floor (0.519615173339844 × 65536)
    floor (34053.5)     		tx = 34053
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324302673339844 × 216)
    floor (0.324302673339844 × 65536)
    floor (21253.5)     		ty = 21253
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34053 / 21253 ti = "16/34053/21253"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34053/21253.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34053 ÷ 216
    34053 ÷ 65536     		x = 0.519607543945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21253 ÷ 216
    21253 ÷ 65536     		y = 0.324295043945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519607543945312 × 2 - 1) × π
    0.039215087890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12319783
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.324295043945312 × 2 - 1) × π
    0.351409912109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.10398679824989
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12319783} λ = 0.12319783}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10398679824989))-π/2
    2×atan(3.01616693450193)-π/2
    2×1.25065466121347-π/2
    2.50130932242694-1.57079632675     		φ = 0.93051300
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12319783} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.058716°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93051300 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.314468°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34053 KachelY 21253 0.12319783 0.93051300 7.058716 53.314468
    Oben rechts KachelX + 1 34054 KachelY 21253 0.12329371 0.93051300 7.064209 53.314468
    Unten links KachelX 34053 KachelY + 1 21254 0.12319783 0.93045572 7.058716 53.311186
    Unten rechts KachelX + 1 34054 KachelY + 1 21254 0.12329371 0.93045572 7.064209 53.311186
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93051300-0.93045572) × R
    5.72800000000484e-05 × 6371000     		dl = 364.930880000308m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93051300-0.93045572) × R
    5.72800000000484e-05 × 6371000     		dr = 364.930880000308m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12319783-0.12329371) × cos(0.93051300) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.597422672609978 × 6371000     		do = 364.936523749385m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12319783-0.12329371) × cos(0.93045572) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.597468605981189 × 6371000     		du = 364.964582217171m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93051300)-sin(0.93045572))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.597422672609978-0.597468605981189)×R²
    abs(0.12329371-0.12319783)×4.59333712109489e-05×R²
    9.58800000000065e-05×4.59333712109489e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×4.59333712109489e-05×40589641000000     		ar = 133181.726493221m²