Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34047 / 21769
↖ ↑ ↗
← N 51.587310°
E  7.025757°		 ← 379.50 m → N 51.587310°
E  7.031250°		 →
↑
379.52 m
↓
↑
379.52 m
↓
N 51.583897°
E  7.025757°		 ← 379.52 m →
144 032 m²		 N 51.583897°
E  7.031250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34047 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21769 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519523620605469 y=0.332176208496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519523620605469 × 216)
    floor (0.519523620605469 × 65536)
    floor (34047.5)     		tx = 34047
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332176208496094 × 216)
    floor (0.332176208496094 × 65536)
    floor (21769.5)     		ty = 21769
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34047 / 21769 ti = "16/34047/21769"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34047/21769.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34047 ÷ 216
    34047 ÷ 65536     		x = 0.519515991210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21769 ÷ 216
    21769 ÷ 65536     		y = 0.332168579101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519515991210938 × 2 - 1) × π
    0.039031982421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.12262259
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.332168579101562 × 2 - 1) × π
    0.335662841796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.054515917842
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12262259} λ = 0.12262259}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.054515917842))-π/2
    2×atan(2.87058521841974)-π/2
    2×1.23558236709079-π/2
    2.47116473418158-1.57079632675     		φ = 0.90036841
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12262259} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.025757°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90036841 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.587310°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34047 KachelY 21769 0.12262259 0.90036841 7.025757 51.587310
    Oben rechts KachelX + 1 34048 KachelY 21769 0.12271846 0.90036841 7.031250 51.587310
    Unten links KachelX 34047 KachelY + 1 21770 0.12262259 0.90030884 7.025757 51.583897
    Unten rechts KachelX + 1 34048 KachelY + 1 21770 0.12271846 0.90030884 7.031250 51.583897
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90036841-0.90030884) × R
    5.95700000000088e-05 × 6371000     		dl = 379.520470000056m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90036841-0.90030884) × R
    5.95700000000088e-05 × 6371000     		dr = 379.520470000056m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12262259-0.12271846) × cos(0.90036841) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.621321340626122 × 6371000     		do = 379.495476094431m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12262259-0.12271846) × cos(0.90030884) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.621368015946495 × 6371000     		du = 379.523984809276m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90036841)-sin(0.90030884))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.621321340626122-0.621368015946495)×R²
    abs(0.12271846-0.12262259)×4.66753203727244e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.66753203727244e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.66753203727244e-05×40589641000000     		ar = 144031.711313047m²