Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 34046 / 34423
↖ ↑ ↗
← S  9.053277°
E  7.020264°		 ← 603.18 m → S  9.053277°
E  7.025757°		 →
↑
603.21 m
↓
↑
603.21 m
↓
S  9.058702°
E  7.020264°		 ← 603.17 m →
363 839 m²		 S  9.058702°
E  7.025757°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34046 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34423 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519508361816406 y=0.525260925292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519508361816406 × 216)
    floor (0.519508361816406 × 65536)
    floor (34046.5)     		tx = 34046
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.525260925292969 × 216)
    floor (0.525260925292969 × 65536)
    floor (34423.5)     		ty = 34423
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34046 / 34423 ti = "16/34046/34423"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34046/34423.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34046 ÷ 216
    34046 ÷ 65536     		x = 0.519500732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34423 ÷ 216
    34423 ÷ 65536     		y = 0.525253295898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519500732421875 × 2 - 1) × π
    0.03900146484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.12252672
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.525253295898438 × 2 - 1) × π
    -0.050506591796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.158671137742386
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12252672} λ = 0.12252672}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.158671137742386))-π/2
    2×atan(0.853276923408478)-π/2
    2×0.706393413472572-π/2
    1.41278682694514-1.57079632675     		φ = -0.15800950
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12252672} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.020264°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15800950 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.053277°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34046 KachelY 34423 0.12252672 -0.15800950 7.020264 -9.053277
    Oben rechts KachelX + 1 34047 KachelY 34423 0.12262259 -0.15800950 7.025757 -9.053277
    Unten links KachelX 34046 KachelY + 1 34424 0.12252672 -0.15810418 7.020264 -9.058702
    Unten rechts KachelX + 1 34047 KachelY + 1 34424 0.12262259 -0.15810418 7.025757 -9.058702
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15800950--0.15810418) × R
    9.46800000000136e-05 × 6371000     		dl = 603.206280000087m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15800950--0.15810418) × R
    9.46800000000136e-05 × 6371000     		dr = 603.206280000087m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12252672-0.12262259) × cos(-0.15800950) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.98754245031533 × 6371000     		do = 603.178851008423m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12252672-0.12262259) × cos(-0.15810418) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.987527547724382 × 6371000     		du = 603.169748688131m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15800950)-sin(-0.15810418))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98754245031533-0.987527547724382)×R²
    abs(0.12262259-0.12252672)×1.49025909479406e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.49025909479406e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.49025909479406e-05×40589641000000     		ar = 363838.525874864m²