Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34041 / 34418
↖ ↑ ↗
← S  9.026153°
E  6.992798°		 ← 603.22 m → S  9.026153°
E  6.998291°		 →
↑
603.27 m
↓
↑
603.27 m
↓
S  9.031578°
E  6.992798°		 ← 603.22 m →
363 904 m²		 S  9.031578°
E  6.998291°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34041 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34418 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519432067871094 y=0.525184631347656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519432067871094 × 216)
    floor (0.519432067871094 × 65536)
    floor (34041.5)     		tx = 34041
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.525184631347656 × 216)
    floor (0.525184631347656 × 65536)
    floor (34418.5)     		ty = 34418
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34041 / 34418 ti = "16/34041/34418"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34041/34418.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34041 ÷ 216
    34041 ÷ 65536     		x = 0.519424438476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34418 ÷ 216
    34418 ÷ 65536     		y = 0.525177001953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519424438476562 × 2 - 1) × π
    0.038848876953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12204735
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.525177001953125 × 2 - 1) × π
    -0.05035400390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.158191768746185
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12204735} λ = 0.12204735}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.158191768746185))-π/2
    2×atan(0.85368605596563)-π/2
    2×0.706630121007613-π/2
    1.41326024201523-1.57079632675     		φ = -0.15753608
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12204735} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.992798°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15753608 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.026153°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34041 KachelY 34418 0.12204735 -0.15753608 6.992798 -9.026153
    Oben rechts KachelX + 1 34042 KachelY 34418 0.12214322 -0.15753608 6.998291 -9.026153
    Unten links KachelX 34041 KachelY + 1 34419 0.12204735 -0.15763077 6.992798 -9.031578
    Unten rechts KachelX + 1 34042 KachelY + 1 34419 0.12214322 -0.15763077 6.998291 -9.031578
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15753608--0.15763077) × R
    9.46900000000084e-05 × 6371000     		dl = 603.269990000053m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15753608--0.15763077) × R
    9.46900000000084e-05 × 6371000     		dr = 603.269990000053m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12204735-0.12214322) × cos(-0.15753608) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.987616833615669 × 6371000     		do = 603.224283418562m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12204735-0.12214322) × cos(-0.15763077) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.987601973721283 × 6371000     		du = 603.215207176808m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15753608)-sin(-0.15763077))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987616833615669-0.987601973721283)×R²
    abs(0.12214322-0.12204735)×1.48598943855438e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.48598943855438e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.48598943855438e-05×40589641000000     		ar = 363904.369985478m²