Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34041 / 34353
↖ ↑ ↗
← S  8.673349°
E  6.992798°		 ← 603.80 m → S  8.673349°
E  6.998291°		 →
↑
603.78 m
↓
↑
603.78 m
↓
S  8.678779°
E  6.992798°		 ← 603.79 m →
364 561 m²		 S  8.678779°
E  6.998291°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34041 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34353 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519432067871094 y=0.524192810058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519432067871094 × 216)
    floor (0.519432067871094 × 65536)
    floor (34041.5)     		tx = 34041
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524192810058594 × 216)
    floor (0.524192810058594 × 65536)
    floor (34353.5)     		ty = 34353
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34041 / 34353 ti = "16/34041/34353"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34041/34353.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34041 ÷ 216
    34041 ÷ 65536     		x = 0.519424438476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34353 ÷ 216
    34353 ÷ 65536     		y = 0.524185180664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519424438476562 × 2 - 1) × π
    0.038848876953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12204735
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.524185180664062 × 2 - 1) × π
    -0.048370361328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.151959971795578
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12204735} λ = 0.12204735}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.151959971795578))-π/2
    2×atan(0.85902266518779)-π/2
    2×0.709708920140078-π/2
    1.41941784028016-1.57079632675     		φ = -0.15137849
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12204735} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.992798°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15137849 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.673349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34041 KachelY 34353 0.12204735 -0.15137849 6.992798 -8.673349
    Oben rechts KachelX + 1 34042 KachelY 34353 0.12214322 -0.15137849 6.998291 -8.673349
    Unten links KachelX 34041 KachelY + 1 34354 0.12204735 -0.15147326 6.992798 -8.678779
    Unten rechts KachelX + 1 34042 KachelY + 1 34354 0.12214322 -0.15147326 6.998291 -8.678779
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15137849--0.15147326) × R
    9.4769999999994e-05 × 6371000     		dl = 603.779669999962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15137849--0.15147326) × R
    9.4769999999994e-05 × 6371000     		dr = 603.779669999962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12204735-0.12214322) × cos(-0.15137849) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.988564139581652 × 6371000     		do = 603.802886317033m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12204735-0.12214322) × cos(-0.15147326) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.988549843731477 × 6371000     		du = 603.794154586584m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15137849)-sin(-0.15147326))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988564139581652-0.988549843731477)×R²
    abs(0.12214322-0.12204735)×1.42958501747614e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.42958501747614e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.42958501747614e-05×40589641000000     		ar = 364561.271697682m²