Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 34040 / 34522
↖ ↑ ↗
← S  9.589917°
E  6.987305°		 ← 602.32 m → S  9.589917°
E  6.992798°		 →
↑
602.31 m
↓
↑
602.31 m
↓
S  9.595334°
E  6.987305°		 ← 602.31 m →
362 780 m²		 S  9.595334°
E  6.992798°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34040 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34522 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519416809082031 y=0.526771545410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519416809082031 × 216)
    floor (0.519416809082031 × 65536)
    floor (34040.5)     		tx = 34040
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.526771545410156 × 216)
    floor (0.526771545410156 × 65536)
    floor (34522.5)     		ty = 34522
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34040 / 34522 ti = "16/34040/34522"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34040/34522.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34040 ÷ 216
    34040 ÷ 65536     		x = 0.5194091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34522 ÷ 216
    34522 ÷ 65536     		y = 0.526763916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5194091796875 × 2 - 1) × π
    0.038818359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.12195147
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.526763916015625 × 2 - 1) × π
    -0.05352783203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.168162643867157
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12195147} λ = 0.12195147}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.168162643867157))-π/2
    2×atan(0.845216354248348)-π/2
    2×0.701710347398486-π/2
    1.40342069479697-1.57079632675     		φ = -0.16737563
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12195147} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.987305°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16737563 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.589917°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34040 KachelY 34522 0.12195147 -0.16737563 6.987305 -9.589917
    Oben rechts KachelX + 1 34041 KachelY 34522 0.12204735 -0.16737563 6.992798 -9.589917
    Unten links KachelX 34040 KachelY + 1 34523 0.12195147 -0.16747017 6.987305 -9.595334
    Unten rechts KachelX + 1 34041 KachelY + 1 34523 0.12204735 -0.16747017 6.992798 -9.595334
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16737563--0.16747017) × R
    9.45400000000041e-05 × 6371000     		dl = 602.314340000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16737563--0.16747017) × R
    9.45400000000041e-05 × 6371000     		dr = 602.314340000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12195147-0.12204735) × cos(-0.16737563) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.98602536946547 × 6371000     		do = 602.315056255483m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12195147-0.12204735) × cos(-0.16747017) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.986009615145963 × 6371000     		du = 602.305432706095m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16737563)-sin(-0.16747017))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98602536946547-0.986009615145963)×R²
    abs(0.12204735-0.12195147)×1.57543195069554e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.57543195069554e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.57543195069554e-05×40589641000000     		ar = 362780.097649979m²