Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3404 / 3164
↖ ↑ ↗
← S 69.534518°
E119.179688°		 ← 3 417.06 m → S 69.534518°
E119.267578°		 →
↑
3 414.60 m
↓
↑
3 414.60 m
↓
S 69.565226°
E119.179688°		 ← 3 412.15 m →
11 659 506 m²		 S 69.565226°
E119.267578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3404 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3164 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8311767578125 y=0.7725830078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8311767578125 × 212)
    floor (0.8311767578125 × 4096)
    floor (3404.5)     		tx = 3404
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7725830078125 × 212)
    floor (0.7725830078125 × 4096)
    floor (3164.5)     		ty = 3164
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3404 / 3164 ti = "12/3404/3164"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3404/3164.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3404 ÷ 212
    3404 ÷ 4096     		x = 0.8310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3164 ÷ 212
    3164 ÷ 4096     		y = 0.7724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8310546875 × 2 - 1) × π
    0.662109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.08007795
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7724609375 × 2 - 1) × π
    -0.544921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.71192255923145
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.08007795} λ = 2.08007795}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71192255923145))-π/2
    2×atan(0.18051840146491)-π/2
    2×0.178595025184392-π/2
    0.357190050368785-1.57079632675     		φ = -1.21360628
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.08007795} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 119.179688°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21360628 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.534518°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3404 KachelY 3164 2.08007795 -1.21360628 119.179688 -69.534518
    Oben rechts KachelX + 1 3405 KachelY 3164 2.08161193 -1.21360628 119.267578 -69.534518
    Unten links KachelX 3404 KachelY + 1 3165 2.08007795 -1.21414224 119.179688 -69.565226
    Unten rechts KachelX + 1 3405 KachelY + 1 3165 2.08161193 -1.21414224 119.267578 -69.565226
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21360628--1.21414224) × R
    0.000535959999999891 × 6371000     		dl = 3414.60115999931m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21360628--1.21414224) × R
    0.000535959999999891 × 6371000     		dr = 3414.60115999931m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.08007795-2.08161193) × cos(-1.21360628) × R
    0.00153398000000005 × 0.349643019707478 × 6371000     		do = 3417.05653939196m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.08007795-2.08161193) × cos(-1.21414224) × R
    0.00153398000000005 × 0.349140837699934 × 6371000     		du = 3412.14872137151m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21360628)-sin(-1.21414224))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349643019707478-0.349140837699934)×R²
    abs(2.08161193-2.08007795)×0.000502182007544483×R²
    0.00153398000000005×0.000502182007544483×6371000²
    0.00153398000000005×0.000502182007544483×40589641000000     		ar = 11659506.381736m²