Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34038 / 34346
↖ ↑ ↗
← S  8.635334°
E  6.976319°		 ← 603.86 m → S  8.635334°
E  6.981812°		 →
↑
603.91 m
↓
↑
603.91 m
↓
S  8.640765°
E  6.976319°		 ← 603.86 m →
364 675 m²		 S  8.640765°
E  6.981812°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34038 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34346 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519386291503906 y=0.524085998535156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519386291503906 × 216)
    floor (0.519386291503906 × 65536)
    floor (34038.5)     		tx = 34038
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524085998535156 × 216)
    floor (0.524085998535156 × 65536)
    floor (34346.5)     		ty = 34346
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34038 / 34346 ti = "16/34038/34346"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34038/34346.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34038 ÷ 216
    34038 ÷ 65536     		x = 0.519378662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34346 ÷ 216
    34346 ÷ 65536     		y = 0.524078369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519378662109375 × 2 - 1) × π
    0.03875732421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.12175973
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.524078369140625 × 2 - 1) × π
    -0.04815673828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.151288855200897
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12175973} λ = 0.12175973}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.151288855200897))-π/2
    2×atan(0.859599363047711)-π/2
    2×0.710040657801888-π/2
    1.42008131560378-1.57079632675     		φ = -0.15071501
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12175973} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.976319°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15071501 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.635334°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34038 KachelY 34346 0.12175973 -0.15071501 6.976319 -8.635334
    Oben rechts KachelX + 1 34039 KachelY 34346 0.12185560 -0.15071501 6.981812 -8.635334
    Unten links KachelX 34038 KachelY + 1 34347 0.12175973 -0.15080980 6.976319 -8.640765
    Unten rechts KachelX + 1 34039 KachelY + 1 34347 0.12185560 -0.15080980 6.981812 -8.640765
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15071501--0.15080980) × R
    9.47899999999835e-05 × 6371000     		dl = 603.907089999895m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15071501--0.15080980) × R
    9.47899999999835e-05 × 6371000     		dr = 603.907089999895m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12175973-0.12185560) × cos(-0.15071501) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.98866397543674 × 6371000     		do = 603.863864836328m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12175973-0.12185560) × cos(-0.15080980) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.988649738743418 × 6371000     		du = 603.855169238162m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15071501)-sin(-0.15080980))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98866397543674-0.988649738743418)×R²
    abs(0.12185560-0.12175973)×1.42366933221227e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.42366933221227e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.42366933221227e-05×40589641000000     		ar = 364675.043975737m²