Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34037 / 34594
↖ ↑ ↗
← S  9.979671°
E  6.970825°		 ← 601.61 m → S  9.979671°
E  6.976319°		 →
↑
601.55 m
↓
↑
601.55 m
↓
S  9.985081°
E  6.970825°		 ← 601.60 m →
361 895 m²		 S  9.985081°
E  6.976319°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34037 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34594 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519371032714844 y=0.527870178222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519371032714844 × 216)
    floor (0.519371032714844 × 65536)
    floor (34037.5)     		tx = 34037
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527870178222656 × 216)
    floor (0.527870178222656 × 65536)
    floor (34594.5)     		ty = 34594
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34037 / 34594 ti = "16/34037/34594"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34037/34594.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34037 ÷ 216
    34037 ÷ 65536     		x = 0.519363403320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34594 ÷ 216
    34594 ÷ 65536     		y = 0.527862548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519363403320312 × 2 - 1) × π
    0.038726806640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12166385
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.527862548828125 × 2 - 1) × π
    -0.05572509765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.175065557412445
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12166385} λ = 0.12166385}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.175065557412445))-π/2
    2×atan(0.839401989942926)-π/2
    2×0.6983091057905-π/2
    1.396618211581-1.57079632675     		φ = -0.17417812
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12166385} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.970825°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17417812 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.979671°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34037 KachelY 34594 0.12166385 -0.17417812 6.970825 -9.979671
    Oben rechts KachelX + 1 34038 KachelY 34594 0.12175973 -0.17417812 6.976319 -9.979671
    Unten links KachelX 34037 KachelY + 1 34595 0.12166385 -0.17427254 6.970825 -9.985081
    Unten rechts KachelX + 1 34038 KachelY + 1 34595 0.12175973 -0.17427254 6.976319 -9.985081
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17417812--0.17427254) × R
    9.44200000000117e-05 × 6371000     		dl = 601.549820000075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17417812--0.17427254) × R
    9.44200000000117e-05 × 6371000     		dr = 601.549820000075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12166385-0.12175973) × cos(-0.17417812) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.984869302300111 × 6371000     		do = 601.608870916544m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12166385-0.12175973) × cos(-0.17427254) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.984852935041865 × 6371000     		du = 601.598872952621m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17417812)-sin(-0.17427254))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984869302300111-0.984852935041865)×R²
    abs(0.12175973-0.12166385)×1.63672582458307e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.63672582458307e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.63672582458307e-05×40589641000000     		ar = 361894.701142493m²