Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34037 / 34578
↖ ↑ ↗
← S  9.893098°
E  6.970825°		 ← 601.77 m → S  9.893098°
E  6.976319°		 →
↑
601.74 m
↓
↑
601.74 m
↓
S  9.898510°
E  6.970825°		 ← 601.76 m →
362 106 m²		 S  9.898510°
E  6.976319°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34037 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34578 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519371032714844 y=0.527626037597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519371032714844 × 216)
    floor (0.519371032714844 × 65536)
    floor (34037.5)     		tx = 34037
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527626037597656 × 216)
    floor (0.527626037597656 × 65536)
    floor (34578.5)     		ty = 34578
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34037 / 34578 ti = "16/34037/34578"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34037/34578.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34037 ÷ 216
    34037 ÷ 65536     		x = 0.519363403320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34578 ÷ 216
    34578 ÷ 65536     		y = 0.527618408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519363403320312 × 2 - 1) × π
    0.038726806640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12166385
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.527618408203125 × 2 - 1) × π
    -0.05523681640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.173531576624603
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12166385} λ = 0.12166385}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.173531576624603))-π/2
    2×atan(0.84069060457113)-π/2
    2×0.699064591211379-π/2
    1.39812918242276-1.57079632675     		φ = -0.17266714
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12166385} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.970825°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17266714 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.893098°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34037 KachelY 34578 0.12166385 -0.17266714 6.970825 -9.893098
    Oben rechts KachelX + 1 34038 KachelY 34578 0.12175973 -0.17266714 6.976319 -9.893098
    Unten links KachelX 34037 KachelY + 1 34579 0.12166385 -0.17276159 6.970825 -9.898510
    Unten rechts KachelX + 1 34038 KachelY + 1 34579 0.12175973 -0.17276159 6.976319 -9.898510
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17266714--0.17276159) × R
    9.44499999999959e-05 × 6371000     		dl = 601.740949999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17266714--0.17276159) × R
    9.44499999999959e-05 × 6371000     		dr = 601.740949999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12166385-0.12175973) × cos(-0.17266714) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.985130028890602 × 6371000     		do = 601.768136140221m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12166385-0.12175973) × cos(-0.17276159) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.985113797000799 × 6371000     		du = 601.758220866311m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17266714)-sin(-0.17276159))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985130028890602-0.985113797000799)×R²
    abs(0.12175973-0.12166385)×1.62318898025982e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.62318898025982e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.62318898025982e-05×40589641000000     		ar = 362105.546976766m²