Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34034 / 34331
↖ ↑ ↗
← S  8.553862°
E  6.954346°		 ← 603.99 m → S  8.553862°
E  6.959839°		 →
↑
604.03 m
↓
↑
604.03 m
↓
S  8.559294°
E  6.954346°		 ← 603.99 m →
364 830 m²		 S  8.559294°
E  6.959839°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34034 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34331 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519325256347656 y=0.523857116699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519325256347656 × 216)
    floor (0.519325256347656 × 65536)
    floor (34034.5)     		tx = 34034
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.523857116699219 × 216)
    floor (0.523857116699219 × 65536)
    floor (34331.5)     		ty = 34331
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34034 / 34331 ti = "16/34034/34331"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34034/34331.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34034 ÷ 216
    34034 ÷ 65536     		x = 0.519317626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34331 ÷ 216
    34331 ÷ 65536     		y = 0.523849487304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519317626953125 × 2 - 1) × π
    0.03863525390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12137623
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.523849487304688 × 2 - 1) × π
    -0.047698974609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.149850748212296
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12137623} λ = 0.12137623}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.149850748212296))-π/2
    2×atan(0.860836448216314)-π/2
    2×0.710751636604604-π/2
    1.42150327320921-1.57079632675     		φ = -0.14929305
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12137623} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.954346°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14929305 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.553862°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34034 KachelY 34331 0.12137623 -0.14929305 6.954346 -8.553862
    Oben rechts KachelX + 1 34035 KachelY 34331 0.12147210 -0.14929305 6.959839 -8.553862
    Unten links KachelX 34034 KachelY + 1 34332 0.12137623 -0.14938786 6.954346 -8.559294
    Unten rechts KachelX + 1 34035 KachelY + 1 34332 0.12147210 -0.14938786 6.959839 -8.559294
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14929305--0.14938786) × R
    9.48100000000007e-05 × 6371000     		dl = 604.034510000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14929305--0.14938786) × R
    9.48100000000007e-05 × 6371000     		dr = 604.034510000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12137623-0.12147210) × cos(-0.14929305) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.988876476131839 × 6371000     		do = 603.993657662011m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12137623-0.12147210) × cos(-0.14938786) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.988862369734883 × 6371000     		du = 603.985041647271m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14929305)-sin(-0.14938786))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988876476131839-0.988862369734883)×R²
    abs(0.12147210-0.12137623)×1.410639695687e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.410639695687e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.410639695687e-05×40589641000000     		ar = 364830.411137145m²