Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34024 / 34582
↖ ↑ ↗
← S  9.914744°
E  6.899414°		 ← 601.73 m → S  9.914744°
E  6.904907°		 →
↑
601.74 m
↓
↑
601.74 m
↓
S  9.920155°
E  6.899414°		 ← 601.72 m →
362 082 m²		 S  9.920155°
E  6.904907°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34024 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34582 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519172668457031 y=0.527687072753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519172668457031 × 216)
    floor (0.519172668457031 × 65536)
    floor (34024.5)     		tx = 34024
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527687072753906 × 216)
    floor (0.527687072753906 × 65536)
    floor (34582.5)     		ty = 34582
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34024 / 34582 ti = "16/34024/34582"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34024/34582.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34024 ÷ 216
    34024 ÷ 65536     		x = 0.5191650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34582 ÷ 216
    34582 ÷ 65536     		y = 0.527679443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5191650390625 × 2 - 1) × π
    0.038330078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12041749
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.527679443359375 × 2 - 1) × π
    -0.05535888671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.173915071821564
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12041749} λ = 0.12041749}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.173915071821564))-π/2
    2×atan(0.840368265573826)-π/2
    2×0.698875701121694-π/2
    1.39775140224339-1.57079632675     		φ = -0.17304492
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12041749} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.899414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17304492 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.914744°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34024 KachelY 34582 0.12041749 -0.17304492 6.899414 -9.914744
    Oben rechts KachelX + 1 34025 KachelY 34582 0.12051337 -0.17304492 6.904907 -9.914744
    Unten links KachelX 34024 KachelY + 1 34583 0.12041749 -0.17313937 6.899414 -9.920155
    Unten rechts KachelX + 1 34025 KachelY + 1 34583 0.12051337 -0.17313937 6.904907 -9.920155
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17304492--0.17313937) × R
    9.44499999999959e-05 × 6371000     		dl = 601.740949999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17304492--0.17313937) × R
    9.44499999999959e-05 × 6371000     		dr = 601.740949999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12041749-0.12051337) × cos(-0.17304492) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.985065052047589 × 6371000     		do = 601.728444939501m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12041749-0.12051337) × cos(-0.17313937) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.985048785008494 × 6371000     		du = 601.718508194594m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17304492)-sin(-0.17313937))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985065052047589-0.985048785008494)×R²
    abs(0.12051337-0.12041749)×1.62670390947417e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.62670390947417e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.62670390947417e-05×40589641000000     		ar = 362081.656695931m²