Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34023 / 36246
↖ ↑ ↗
← S 18.760713°
E  6.893921°		 ← 578.34 m → S 18.760713°
E  6.899414°		 →
↑
578.36 m
↓
↑
578.36 m
↓
S 18.765914°
E  6.893921°		 ← 578.32 m →
334 481 m²		 S 18.765914°
E  6.899414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34023 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36246 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519157409667969 y=0.553077697753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519157409667969 × 216)
    floor (0.519157409667969 × 65536)
    floor (34023.5)     		tx = 34023
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.553077697753906 × 216)
    floor (0.553077697753906 × 65536)
    floor (36246.5)     		ty = 36246
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34023 / 36246 ti = "16/34023/36246"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34023/36246.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34023 ÷ 216
    34023 ÷ 65536     		x = 0.519149780273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36246 ÷ 216
    36246 ÷ 65536     		y = 0.553070068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519149780273438 × 2 - 1) × π
    0.038299560546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.12032162
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.553070068359375 × 2 - 1) × π
    -0.10614013671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.333449073757111
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12032162} λ = 0.12032162}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.333449073757111))-π/2
    2×atan(0.71644838373534)-π/2
    2×0.621680059573598-π/2
    1.2433601191472-1.57079632675     		φ = -0.32743621
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12032162} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.893921°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32743621 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.760713°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34023 KachelY 36246 0.12032162 -0.32743621 6.893921 -18.760713
    Oben rechts KachelX + 1 34024 KachelY 36246 0.12041749 -0.32743621 6.899414 -18.760713
    Unten links KachelX 34023 KachelY + 1 36247 0.12032162 -0.32752699 6.893921 -18.765914
    Unten rechts KachelX + 1 34024 KachelY + 1 36247 0.12041749 -0.32752699 6.899414 -18.765914
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32743621--0.32752699) × R
    9.07800000000125e-05 × 6371000     		dl = 578.35938000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32743621--0.32752699) × R
    9.07800000000125e-05 × 6371000     		dr = 578.35938000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12032162-0.12041749) × cos(-0.32743621) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.946870011718511 × 6371000     		do = 578.336622937411m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12032162-0.12041749) × cos(-0.32752699) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.946840811469994 × 6371000     		du = 578.318787782735m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32743621)-sin(-0.32752699))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.946870011718511-0.946840811469994)×R²
    abs(0.12041749-0.12032162)×2.92002485176024e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.92002485176024e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.92002485176024e-05×40589641000000     		ar = 334481.25333858m²