Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34022 / 21233
↖ ↑ ↗
← N 53.380052°
E  6.888427°		 ← 364.38 m → N 53.380052°
E  6.893921°		 →
↑
364.36 m
↓
↑
364.36 m
↓
N 53.376775°
E  6.888427°		 ← 364.40 m →
132 768 m²		 N 53.376775°
E  6.893921°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34022 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21233 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519142150878906 y=0.323997497558594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519142150878906 × 216)
    floor (0.519142150878906 × 65536)
    floor (34022.5)     		tx = 34022
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323997497558594 × 216)
    floor (0.323997497558594 × 65536)
    floor (21233.5)     		ty = 21233
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34022 / 21233 ti = "16/34022/21233"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34022/21233.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34022 ÷ 216
    34022 ÷ 65536     		x = 0.519134521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21233 ÷ 216
    21233 ÷ 65536     		y = 0.323989868164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519134521484375 × 2 - 1) × π
    0.03826904296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.12022574
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.323989868164062 × 2 - 1) × π
    0.352020263671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.1059042742347
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12022574} λ = 0.12022574}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1059042742347))-π/2
    2×atan(3.02195591050252)-π/2
    2×1.25122699276277-π/2
    2.50245398552554-1.57079632675     		φ = 0.93165766
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12022574} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.888427°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93165766 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.380052°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34022 KachelY 21233 0.12022574 0.93165766 6.888427 53.380052
    Oben rechts KachelX + 1 34023 KachelY 21233 0.12032162 0.93165766 6.893921 53.380052
    Unten links KachelX 34022 KachelY + 1 21234 0.12022574 0.93160047 6.888427 53.376775
    Unten rechts KachelX + 1 34023 KachelY + 1 21234 0.12032162 0.93160047 6.893921 53.376775
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93165766-0.93160047) × R
    5.71900000000403e-05 × 6371000     		dl = 364.357490000257m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93165766-0.93160047) × R
    5.71900000000403e-05 × 6371000     		dr = 364.357490000257m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12022574-0.12032162) × cos(0.93165766) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.59650434820977 × 6371000     		do = 364.375563930398m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12022574-0.12032162) × cos(0.93160047) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.596550248491262 × 6371000     		du = 364.40360218528m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93165766)-sin(0.93160047))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.59650434820977-0.596550248491262)×R²
    abs(0.12032162-0.12022574)×4.59002814925391e-05×R²
    9.58800000000065e-05×4.59002814925391e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×4.59002814925391e-05×40589641000000     		ar = 132768.073901492m²