Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 3402 / 3138
↖ ↑ ↗
← S 68.720440°
E119.003906°		 ← 3 546.80 m → S 68.720440°
E119.091797°		 →
↑
3 544.25 m
↓
↑
3 544.25 m
↓
S 68.752315°
E119.003906°		 ← 3 541.73 m →
12 561 774 m²		 S 68.752315°
E119.091797°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3402 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3138 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8306884765625 y=0.7662353515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8306884765625 × 212)
    floor (0.8306884765625 × 4096)
    floor (3402.5)     		tx = 3402
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7662353515625 × 212)
    floor (0.7662353515625 × 4096)
    floor (3138.5)     		ty = 3138
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3402 / 3138 ti = "12/3402/3138"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3402/3138.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3402 ÷ 212
    3402 ÷ 4096     		x = 0.83056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3138 ÷ 212
    3138 ÷ 4096     		y = 0.76611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.83056640625 × 2 - 1) × π
    0.6611328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.07700999
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76611328125 × 2 - 1) × π
    -0.5322265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.67203905874756
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.07700999} λ = 2.07700999}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67203905874756))-π/2
    2×atan(0.187863609890113)-π/2
    2×0.185699187723214-π/2
    0.371398375446427-1.57079632675     		φ = -1.19939795
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.07700999} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 119.003906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19939795 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.720440°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3402 KachelY 3138 2.07700999 -1.19939795 119.003906 -68.720440
    Oben rechts KachelX + 1 3403 KachelY 3138 2.07854397 -1.19939795 119.091797 -68.720440
    Unten links KachelX 3402 KachelY + 1 3139 2.07700999 -1.19995426 119.003906 -68.752315
    Unten rechts KachelX + 1 3403 KachelY + 1 3139 2.07854397 -1.19995426 119.091797 -68.752315
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19939795--1.19995426) × R
    0.000556309999999893 × 6371000     		dl = 3544.25100999932m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19939795--1.19995426) × R
    0.000556309999999893 × 6371000     		dr = 3544.25100999932m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.07700999-2.07854397) × cos(-1.19939795) × R
    0.00153398000000005 × 0.362918822903626 × 6371000     		do = 3546.80078586664m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.07700999-2.07854397) × cos(-1.19995426) × R
    0.00153398000000005 × 0.362400385565398 × 6371000     		du = 3541.73410471757m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19939795)-sin(-1.19995426))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.362918822903626-0.362400385565398)×R²
    abs(2.07854397-2.07700999)×0.000518437338228372×R²
    0.00153398000000005×0.000518437338228372×6371000²
    0.00153398000000005×0.000518437338228372×40589641000000     		ar = 12561773.7966529m²