Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34019 / 34341
↖ ↑ ↗
← S  8.608179°
E  6.871948°		 ← 603.97 m → S  8.608179°
E  6.877442°		 →
↑
603.91 m
↓
↑
603.91 m
↓
S  8.613610°
E  6.871948°		 ← 603.96 m →
364 739 m²		 S  8.613610°
E  6.877442°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34019 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34341 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519096374511719 y=0.524009704589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519096374511719 × 216)
    floor (0.519096374511719 × 65536)
    floor (34019.5)     		tx = 34019
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524009704589844 × 216)
    floor (0.524009704589844 × 65536)
    floor (34341.5)     		ty = 34341
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34019 / 34341 ti = "16/34019/34341"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34019/34341.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34019 ÷ 216
    34019 ÷ 65536     		x = 0.519088745117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34341 ÷ 216
    34341 ÷ 65536     		y = 0.524002075195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519088745117188 × 2 - 1) × π
    0.038177490234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11993812
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.524002075195312 × 2 - 1) × π
    -0.048004150390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.150809486204697
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11993812} λ = 0.11993812}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.150809486204697))-π/2
    2×atan(0.860011527112955)-π/2
    2×0.710277633749773-π/2
    1.42055526749955-1.57079632675     		φ = -0.15024106
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11993812} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.871948°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15024106 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.608179°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34019 KachelY 34341 0.11993812 -0.15024106 6.871948 -8.608179
    Oben rechts KachelX + 1 34020 KachelY 34341 0.12003400 -0.15024106 6.877442 -8.608179
    Unten links KachelX 34019 KachelY + 1 34342 0.11993812 -0.15033585 6.871948 -8.613610
    Unten rechts KachelX + 1 34020 KachelY + 1 34342 0.12003400 -0.15033585 6.877442 -8.613610
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15024106--0.15033585) × R
    9.47899999999835e-05 × 6371000     		dl = 603.907089999895m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15024106--0.15033585) × R
    9.47899999999835e-05 × 6371000     		dr = 603.907089999895m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11993812-0.12003400) × cos(-0.15024106) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.988735025651471 × 6371000     		do = 603.97025374708m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11993812-0.12003400) × cos(-0.15033585) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.988720833375868 × 6371000     		du = 603.961584374524m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15024106)-sin(-0.15033585))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988735025651471-0.988720833375868)×R²
    abs(0.12003400-0.11993812)×1.41922756030644e-05×R²
    9.58800000000065e-05×1.41922756030644e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×1.41922756030644e-05×40589641000000     		ar = 364739.300912249m²