Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34018 / 49628
↖ ↑ ↗
← S 67.533772°
E  6.866455°		 ← 233.41 m → S 67.533772°
E  6.871948°		 →
↑
233.43 m
↓
↑
233.43 m
↓
S 67.535871°
E  6.866455°		 ← 233.39 m →
54 482 m²		 S 67.535871°
E  6.871948°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34018 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49628 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519081115722656 y=0.757270812988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519081115722656 × 216)
    floor (0.519081115722656 × 65536)
    floor (34018.5)     		tx = 34018
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757270812988281 × 216)
    floor (0.757270812988281 × 65536)
    floor (49628.5)     		ty = 49628
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34018 / 49628 ti = "16/34018/49628"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34018/49628.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34018 ÷ 216
    34018 ÷ 65536     		x = 0.519073486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49628 ÷ 216
    49628 ÷ 65536     		y = 0.75726318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519073486328125 × 2 - 1) × π
    0.03814697265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11984225
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75726318359375 × 2 - 1) × π
    -0.5145263671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.61643225518829
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11984225} λ = 0.11984225}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61643225518829))-π/2
    2×atan(0.198606012146498)-π/2
    2×0.196054828300899-π/2
    0.392109656601798-1.57079632675     		φ = -1.17868667
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11984225} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.866455°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17868667 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.533772°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34018 KachelY 49628 0.11984225 -1.17868667 6.866455 -67.533772
    Oben rechts KachelX + 1 34019 KachelY 49628 0.11993812 -1.17868667 6.871948 -67.533772
    Unten links KachelX 34018 KachelY + 1 49629 0.11984225 -1.17872331 6.866455 -67.535871
    Unten rechts KachelX + 1 34019 KachelY + 1 49629 0.11993812 -1.17872331 6.871948 -67.535871
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17868667--1.17872331) × R
    3.66400000000322e-05 × 6371000     		dl = 233.433440000205m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17868667--1.17872331) × R
    3.66400000000322e-05 × 6371000     		dr = 233.433440000205m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11984225-0.11993812) × cos(-1.17868667) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.382138808315757 × 6371000     		do = 233.405710561634m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11984225-0.11993812) × cos(-1.17872331) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.382104948854432 × 6371000     		du = 233.385029616757m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17868667)-sin(-1.17872331))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.382138808315757-0.382104948854432)×R²
    abs(0.11993812-0.11984225)×3.38594613252252e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.38594613252252e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.38594613252252e-05×40589641000000     		ar = 54482.2841258541m²