Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 34016 / 36254
↖ ↑ ↗
← S 18.802318°
E  6.855469°		 ← 578.25 m → S 18.802318°
E  6.860962°		 →
↑
578.17 m
↓
↑
578.17 m
↓
S 18.807518°
E  6.855469°		 ← 578.24 m →
334 323 m²		 S 18.807518°
E  6.860962°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34016 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36254 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519050598144531 y=0.553199768066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519050598144531 × 216)
    floor (0.519050598144531 × 65536)
    floor (34016.5)     		tx = 34016
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.553199768066406 × 216)
    floor (0.553199768066406 × 65536)
    floor (36254.5)     		ty = 36254
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34016 / 36254 ti = "16/34016/36254"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34016/36254.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34016 ÷ 216
    34016 ÷ 65536     		x = 0.51904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36254 ÷ 216
    36254 ÷ 65536     		y = 0.553192138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51904296875 × 2 - 1) × π
    0.0380859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11965050
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.553192138671875 × 2 - 1) × π
    -0.10638427734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.334216064151032
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11965050} λ = 0.11965050}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.334216064151032))-π/2
    2×atan(0.715899085387481)-π/2
    2×0.621316984286543-π/2
    1.24263396857309-1.57079632675     		φ = -0.32816236
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11965050} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.855469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32816236 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.802318°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34016 KachelY 36254 0.11965050 -0.32816236 6.855469 -18.802318
    Oben rechts KachelX + 1 34017 KachelY 36254 0.11974638 -0.32816236 6.860962 -18.802318
    Unten links KachelX 34016 KachelY + 1 36255 0.11965050 -0.32825311 6.855469 -18.807518
    Unten rechts KachelX + 1 34017 KachelY + 1 36255 0.11974638 -0.32825311 6.860962 -18.807518
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32816236--0.32825311) × R
    9.07500000000283e-05 × 6371000     		dl = 578.16825000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32816236--0.32825311) × R
    9.07500000000283e-05 × 6371000     		dr = 578.16825000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11965050-0.11974638) × cos(-0.32816236) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.946636220269372 × 6371000     		do = 578.254136173107m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11965050-0.11974638) × cos(-0.32825311) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.946606967283644 × 6371000     		du = 578.236266943481m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32816236)-sin(-0.32825311))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.946636220269372-0.946606967283644)×R²
    abs(0.11974638-0.11965050)×2.92529857273127e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.92529857273127e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.92529857273127e-05×40589641000000     		ar = 334323.016485422m²