Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34013 / 34394
↖ ↑ ↗
← S  8.895926°
E  6.838989°		 ← 603.44 m → S  8.895926°
E  6.844482°		 →
↑
603.46 m
↓
↑
603.46 m
↓
S  8.901353°
E  6.838989°		 ← 603.43 m →
364 150 m²		 S  8.901353°
E  6.844482°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34013 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34394 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519004821777344 y=0.524818420410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519004821777344 × 216)
    floor (0.519004821777344 × 65536)
    floor (34013.5)     		tx = 34013
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524818420410156 × 216)
    floor (0.524818420410156 × 65536)
    floor (34394.5)     		ty = 34394
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34013 / 34394 ti = "16/34013/34394"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34013/34394.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34013 ÷ 216
    34013 ÷ 65536     		x = 0.518997192382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34394 ÷ 216
    34394 ÷ 65536     		y = 0.524810791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518997192382812 × 2 - 1) × π
    0.037994384765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11936288
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.524810791015625 × 2 - 1) × π
    -0.04962158203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.155890797564423
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11936288} λ = 0.11936288}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.155890797564423))-π/2
    2×atan(0.855652624619919)-π/2
    2×0.707766564074025-π/2
    1.41553312814805-1.57079632675     		φ = -0.15526320
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11936288} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.838989°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15526320 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.895926°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34013 KachelY 34394 0.11936288 -0.15526320 6.838989 -8.895926
    Oben rechts KachelX + 1 34014 KachelY 34394 0.11945875 -0.15526320 6.844482 -8.895926
    Unten links KachelX 34013 KachelY + 1 34395 0.11936288 -0.15535792 6.838989 -8.901353
    Unten rechts KachelX + 1 34014 KachelY + 1 34395 0.11945875 -0.15535792 6.844482 -8.901353
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15526320--0.15535792) × R
    9.47200000000203e-05 × 6371000     		dl = 603.46112000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15526320--0.15535792) × R
    9.47200000000203e-05 × 6371000     		dr = 603.46112000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11936288-0.11945875) × cos(-0.15526320) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.987970863710702 × 6371000     		do = 603.44052067082m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11936288-0.11945875) × cos(-0.15535792) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.987956211764821 × 6371000     		du = 603.431571441469m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15526320)-sin(-0.15535792))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987970863710702-0.987956211764821)×R²
    abs(0.11945875-0.11936288)×1.46519458811278e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.46519458811278e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.46519458811278e-05×40589641000000     		ar = 364150.192473809m²