Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34011 / 21221
↖ ↑ ↗
← N 53.419354°
E  6.828003°		 ← 364.04 m → N 53.419354°
E  6.833496°		 →
↑
364.04 m
↓
↑
364.04 m
↓
N 53.416080°
E  6.828003°		 ← 364.07 m →
132 530 m²		 N 53.416080°
E  6.833496°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34011 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21221 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518974304199219 y=0.323814392089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518974304199219 × 216)
    floor (0.518974304199219 × 65536)
    floor (34011.5)     		tx = 34011
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323814392089844 × 216)
    floor (0.323814392089844 × 65536)
    floor (21221.5)     		ty = 21221
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34011 / 21221 ti = "16/34011/21221"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34011/21221.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34011 ÷ 216
    34011 ÷ 65536     		x = 0.518966674804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21221 ÷ 216
    21221 ÷ 65536     		y = 0.323806762695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518966674804688 × 2 - 1) × π
    0.037933349609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11917113
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.323806762695312 × 2 - 1) × π
    0.352386474609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.10705475982558
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11917113} λ = 0.11917113}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10705475982558))-π/2
    2×atan(3.02543462795728)-π/2
    2×1.25156996919014-π/2
    2.50313993838028-1.57079632675     		φ = 0.93234361
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11917113} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.828003°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93234361 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.419354°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34011 KachelY 21221 0.11917113 0.93234361 6.828003 53.419354
    Oben rechts KachelX + 1 34012 KachelY 21221 0.11926701 0.93234361 6.833496 53.419354
    Unten links KachelX 34011 KachelY + 1 21222 0.11917113 0.93228647 6.828003 53.416080
    Unten rechts KachelX + 1 34012 KachelY + 1 21222 0.11926701 0.93228647 6.833496 53.416080
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93234361-0.93228647) × R
    5.71400000000111e-05 × 6371000     		dl = 364.038940000071m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93234361-0.93228647) × R
    5.71400000000111e-05 × 6371000     		dr = 364.038940000071m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11917113-0.11926701) × cos(0.93234361) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.595953657694261 × 6371000     		do = 364.039173813978m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11917113-0.11926701) × cos(0.93228647) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.595999541217171 × 6371000     		du = 364.067201831855m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93234361)-sin(0.93228647))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.595953657694261-0.595999541217171)×R²
    abs(0.11926701-0.11917113)×4.58835229101284e-05×R²
    9.58800000000065e-05×4.58835229101284e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×4.58835229101284e-05×40589641000000     		ar = 132529.536634624m²