Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3401 / 962
↖ ↑ ↗
← N 79.671438°
W 30.541992°		 ← 876.11 m → N 79.671438°
W 30.498047°		 →
↑
876.46 m
↓
↑
876.46 m
↓
N 79.663556°
W 30.541992°		 ← 876.77 m →
768 166 m²		 N 79.663556°
W 30.498047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3401 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 962 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.41522216796875 y=0.11749267578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.41522216796875 × 213)
    floor (0.41522216796875 × 8192)
    floor (3401.5)     		tx = 3401
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.11749267578125 × 213)
    floor (0.11749267578125 × 8192)
    floor (962.5)     		ty = 962
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3401 / 962 ti = "13/3401/962"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3401/962.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3401 ÷ 213
    3401 ÷ 8192     		x = 0.4151611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 962 ÷ 213
    962 ÷ 8192     		y = 0.117431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4151611328125 × 2 - 1) × π
    -0.169677734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.53305832
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.117431640625 × 2 - 1) × π
    0.76513671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.4037478945481
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53305832} λ = -0.53305832}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4037478945481))-π/2
    2×atan(11.0645675998128)-π/2
    2×1.48066261892491-π/2
    2.96132523784983-1.57079632675     		φ = 1.39052891
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53305832} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.541992°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39052891 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.671438°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3401 KachelY 962 -0.53305832 1.39052891 -30.541992 79.671438
    Oben rechts KachelX + 1 3402 KachelY 962 -0.53229133 1.39052891 -30.498047 79.671438
    Unten links KachelX 3401 KachelY + 1 963 -0.53305832 1.39039134 -30.541992 79.663556
    Unten rechts KachelX + 1 3402 KachelY + 1 963 -0.53229133 1.39039134 -30.498047 79.663556
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39052891-1.39039134) × R
    0.00013756999999992 × 6371000     		dl = 876.458469999492m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39052891-1.39039134) × R
    0.00013756999999992 × 6371000     		dr = 876.458469999492m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53305832--0.53229133) × cos(1.39052891) × R
    0.000766990000000023 × 0.179292663348335 × 6371000     		do = 876.112396397893m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53305832--0.53229133) × cos(1.39039134) × R
    0.000766990000000023 × 0.179428002437049 × 6371000     		du = 876.773729946768m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39052891)-sin(1.39039134))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.179292663348335-0.179428002437049)×R²
    abs(-0.53229133--0.53305832)×0.000135339088713854×R²
    0.000766990000000023×0.000135339088713854×6371000²
    0.000766990000000023×0.000135339088713854×40589641000000     		ar = 768165.947401124m²