Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3401 / 813
↖ ↑ ↗
← N 80.781758°
W 30.541992°		 ← 782.79 m → N 80.781758°
W 30.498047°		 →
↑
783.12 m
↓
↑
783.12 m
↓
N 80.774716°
W 30.541992°		 ← 783.39 m →
613 256 m²		 N 80.774716°
W 30.498047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3401 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 813 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.41522216796875 y=0.09930419921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.41522216796875 × 213)
    floor (0.41522216796875 × 8192)
    floor (3401.5)     		tx = 3401
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.09930419921875 × 213)
    floor (0.09930419921875 × 8192)
    floor (813.5)     		ty = 813
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3401 / 813 ti = "13/3401/813"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3401/813.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3401 ÷ 213
    3401 ÷ 8192     		x = 0.4151611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 813 ÷ 213
    813 ÷ 8192     		y = 0.0992431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4151611328125 × 2 - 1) × π
    -0.169677734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.53305832
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0992431640625 × 2 - 1) × π
    0.801513671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.51802946324231
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53305832} λ = -0.53305832}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51802946324231))-π/2
    2×atan(12.4041297713778)-π/2
    2×1.49035199170747-π/2
    2.98070398341493-1.57079632675     		φ = 1.40990766
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53305832} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.541992°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40990766 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.781758°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3401 KachelY 813 -0.53305832 1.40990766 -30.541992 80.781758
    Oben rechts KachelX + 1 3402 KachelY 813 -0.53229133 1.40990766 -30.498047 80.781758
    Unten links KachelX 3401 KachelY + 1 814 -0.53305832 1.40978474 -30.541992 80.774716
    Unten rechts KachelX + 1 3402 KachelY + 1 814 -0.53229133 1.40978474 -30.498047 80.774716
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40990766-1.40978474) × R
    0.000122919999999915 × 6371000     		dl = 783.12331999946m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40990766-1.40978474) × R
    0.000122919999999915 × 6371000     		dr = 783.12331999946m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53305832--0.53229133) × cos(1.40990766) × R
    0.000766990000000023 × 0.160195459695451 × 6371000     		do = 782.794038890308m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53305832--0.53229133) × cos(1.40978474) × R
    0.000766990000000023 × 0.160316791011568 × 6371000     		du = 783.386923552384m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40990766)-sin(1.40978474))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160195459695451-0.160316791011568)×R²
    abs(-0.53229133--0.53305832)×0.000121331316117718×R²
    0.000766990000000023×0.000121331316117718×6371000²
    0.000766990000000023×0.000121331316117718×40589641000000     		ar = 613256.418283338m²