Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 34009 / 34501
↖ ↑ ↗
← S  9.476154°
E  6.817016°		 ← 602.52 m → S  9.476154°
E  6.822510°		 →
↑
602.44 m
↓
↑
602.44 m
↓
S  9.481572°
E  6.817016°		 ← 602.51 m →
362 978 m²		 S  9.481572°
E  6.822510°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34009 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34501 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518943786621094 y=0.526451110839844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518943786621094 × 216)
    floor (0.518943786621094 × 65536)
    floor (34009.5)     		tx = 34009
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.526451110839844 × 216)
    floor (0.526451110839844 × 65536)
    floor (34501.5)     		ty = 34501
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34009 / 34501 ti = "16/34009/34501"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34009/34501.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34009 ÷ 216
    34009 ÷ 65536     		x = 0.518936157226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34501 ÷ 216
    34501 ÷ 65536     		y = 0.526443481445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518936157226562 × 2 - 1) × π
    0.037872314453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11897938
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.526443481445312 × 2 - 1) × π
    -0.052886962890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.166149294083115
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11897938} λ = 0.11897938}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.166149294083115))-π/2
    2×atan(0.84691978463783)-π/2
    2×0.702703120214214-π/2
    1.40540624042843-1.57079632675     		φ = -0.16539009
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11897938} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.817016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16539009 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.476154°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34009 KachelY 34501 0.11897938 -0.16539009 6.817016 -9.476154
    Oben rechts KachelX + 1 34010 KachelY 34501 0.11907526 -0.16539009 6.822510 -9.476154
    Unten links KachelX 34009 KachelY + 1 34502 0.11897938 -0.16548465 6.817016 -9.481572
    Unten rechts KachelX + 1 34010 KachelY + 1 34502 0.11907526 -0.16548465 6.822510 -9.481572
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16539009--0.16548465) × R
    9.45600000000213e-05 × 6371000     		dl = 602.441760000136m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16539009--0.16548465) × R
    9.45600000000213e-05 × 6371000     		dr = 602.441760000136m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11897938-0.11907526) × cos(-0.16539009) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.986354207104434 × 6371000     		do = 602.515927214011m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11897938-0.11907526) × cos(-0.16548465) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.986338634609507 × 6371000     		du = 602.506414732438m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16539009)-sin(-0.16548465))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.986354207104434-0.986338634609507)×R²
    abs(0.11907526-0.11897938)×1.55724949272296e-05×R²
    9.58800000000065e-05×1.55724949272296e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×1.55724949272296e-05×40589641000000     		ar = 362977.890531345m²