Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 34007 / 34504
S  9.492408°
E  6.806030°
← 602.42 m → S  9.492408°
E  6.811523°

602.44 m

602.44 m
S  9.497826°
E  6.806030°
← 602.42 m →
362 923 m²
S  9.497826°
E  6.811523°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34007 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34504 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518913269042969 y=0.526496887207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518913269042969 × 216)
    floor (0.518913269042969 × 65536)
    floor (34007.5)
    tx = 34007
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.526496887207031 × 216)
    floor (0.526496887207031 × 65536)
    floor (34504.5)
    ty = 34504
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34007 / 34504 ti = "16/34007/34504"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34007/34504.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34007 ÷ 216
    34007 ÷ 65536
    x = 0.518905639648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34504 ÷ 216
    34504 ÷ 65536
    y = 0.5264892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.518905639648438 × 2 - 1) × π
    0.037811279296875 × 3.1415926535
    Λ = 0.11878764
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.5264892578125 × 2 - 1) × π
    -0.052978515625 × 3.1415926535
    Φ = -0.166436915480835
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11878764} λ = 0.11878764}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.166436915480835))-π/2
    2×atan(0.84667622741343)-π/2
    2×0.702561275286612-π/2
    1.40512255057322-1.57079632675
    φ = -0.16567378
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11878764} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.806030°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16567378 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.492408°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34007 KachelY 34504 0.11878764 -0.16567378 6.806030 -9.492408
    Oben rechts KachelX + 1 34008 KachelY 34504 0.11888351 -0.16567378 6.811523 -9.492408
    Unten links KachelX 34007 KachelY + 1 34505 0.11878764 -0.16576834 6.806030 -9.497826
    Unten rechts KachelX + 1 34008 KachelY + 1 34505 0.11888351 -0.16576834 6.811523 -9.497826
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(-0.16567378--0.16576834) × R
    9.45599999999935e-05 × 6371000
    dl = 602.441759999959m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(-0.16567378--0.16576834) × R
    9.45599999999935e-05 × 6371000
    dr = 602.441759999959m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(0.11878764-0.11888351) × cos(-0.16567378) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.986307461512305 × 6371000
    do = 602.424534951448m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(0.11878764-0.11888351) × cos(-0.16576834) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.986291862558545 × 6371000
    du = 602.415007301267m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(-0.16567378)-sin(-0.16576834))×
    abs(λ12)×abs(0.986307461512305-0.986291862558545)×
    abs(0.11888351-0.11878764)×1.55989537595769e-05×
    9.58699999999979e-05×1.55989537595769e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.55989537595769e-05×40589641000000
    ar = 362922.827446532m²