Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34007 / 34413
↖ ↑ ↗
← S  8.999026°
E  6.806030°		 ← 603.27 m → S  8.999026°
E  6.811523°		 →
↑
603.33 m
↓
↑
603.33 m
↓
S  9.004452°
E  6.806030°		 ← 603.26 m →
363 970 m²		 S  9.004452°
E  6.811523°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34007 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34413 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518913269042969 y=0.525108337402344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518913269042969 × 216)
    floor (0.518913269042969 × 65536)
    floor (34007.5)     		tx = 34007
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.525108337402344 × 216)
    floor (0.525108337402344 × 65536)
    floor (34413.5)     		ty = 34413
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34007 / 34413 ti = "16/34007/34413"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34007/34413.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34007 ÷ 216
    34007 ÷ 65536     		x = 0.518905639648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34413 ÷ 216
    34413 ÷ 65536     		y = 0.525100708007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518905639648438 × 2 - 1) × π
    0.037811279296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.11878764
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.525100708007812 × 2 - 1) × π
    -0.050201416015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.157712399749985
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11878764} λ = 0.11878764}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.157712399749985))-π/2
    2×atan(0.854095384695261)-π/2
    2×0.706866846345134-π/2
    1.41373369269027-1.57079632675     		φ = -0.15706263
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11878764} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.806030°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15706263 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.999026°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34007 KachelY 34413 0.11878764 -0.15706263 6.806030 -8.999026
    Oben rechts KachelX + 1 34008 KachelY 34413 0.11888351 -0.15706263 6.811523 -8.999026
    Unten links KachelX 34007 KachelY + 1 34414 0.11878764 -0.15715733 6.806030 -9.004452
    Unten rechts KachelX + 1 34008 KachelY + 1 34414 0.11888351 -0.15715733 6.811523 -9.004452
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15706263--0.15715733) × R
    9.47000000000031e-05 × 6371000     		dl = 603.33370000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15706263--0.15715733) × R
    9.47000000000031e-05 × 6371000     		dr = 603.33370000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11878764-0.11888351) × cos(-0.15706263) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.987691000257442 × 6371000     		do = 603.269583496299m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11878764-0.11888351) × cos(-0.15715733) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.987676183075106 × 6371000     		du = 603.260533342543m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15706263)-sin(-0.15715733))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987691000257442-0.987676183075106)×R²
    abs(0.11888351-0.11878764)×1.48171823357579e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.48171823357579e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.48171823357579e-05×40589641000000     		ar = 363970.140048963m²