Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34005 / 21254
↖ ↑ ↗
← N 53.311186°
E  6.795044°		 ← 364.93 m → N 53.311186°
E  6.800537°		 →
↑
364.99 m
↓
↑
364.99 m
↓
N 53.307903°
E  6.795044°		 ← 364.95 m →
133 201 m²		 N 53.307903°
E  6.800537°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34005 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21254 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518882751464844 y=0.324317932128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518882751464844 × 216)
    floor (0.518882751464844 × 65536)
    floor (34005.5)     		tx = 34005
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324317932128906 × 216)
    floor (0.324317932128906 × 65536)
    floor (21254.5)     		ty = 21254
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34005 / 21254 ti = "16/34005/21254"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34005/21254.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34005 ÷ 216
    34005 ÷ 65536     		x = 0.518875122070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21254 ÷ 216
    21254 ÷ 65536     		y = 0.324310302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518875122070312 × 2 - 1) × π
    0.037750244140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11859589
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.324310302734375 × 2 - 1) × π
    0.35137939453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.10389092445065
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11859589} λ = 0.11859589}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10389092445065))-π/2
    2×atan(3.01587777698031)-π/2
    2×1.25062602152168-π/2
    2.50125204304336-1.57079632675     		φ = 0.93045572
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11859589} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.795044°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93045572 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.311186°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34005 KachelY 21254 0.11859589 0.93045572 6.795044 53.311186
    Oben rechts KachelX + 1 34006 KachelY 21254 0.11869176 0.93045572 6.800537 53.311186
    Unten links KachelX 34005 KachelY + 1 21255 0.11859589 0.93039843 6.795044 53.307903
    Unten rechts KachelX + 1 34006 KachelY + 1 21255 0.11869176 0.93039843 6.800537 53.307903
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93045572-0.93039843) × R
    5.72899999999876e-05 × 6371000     		dl = 364.994589999921m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93045572-0.93039843) × R
    5.72899999999876e-05 × 6371000     		dr = 364.994589999921m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11859589-0.11869176) × cos(0.93045572) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.597468605981189 × 6371000     		do = 364.926517492251m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11859589-0.11869176) × cos(0.93039843) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.597514545410687 × 6371000     		du = 364.954576733949m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93045572)-sin(0.93039843))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.597468605981189-0.597514545410687)×R²
    abs(0.11869176-0.11859589)×4.59394294981541e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.59394294981541e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.59394294981541e-05×40589641000000     		ar = 133201.325404115m²