Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 34004 / 34739
↖ ↑ ↗
← S 10.763159°
E  6.789551°		 ← 600.04 m → S 10.763159°
E  6.795044°		 →
↑
600.02 m
↓
↑
600.02 m
↓
S 10.768556°
E  6.789551°		 ← 600.03 m →
360 035 m²		 S 10.768556°
E  6.795044°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34004 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34739 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518867492675781 y=0.530082702636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518867492675781 × 216)
    floor (0.518867492675781 × 65536)
    floor (34004.5)     		tx = 34004
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.530082702636719 × 216)
    floor (0.530082702636719 × 65536)
    floor (34739.5)     		ty = 34739
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34004 / 34739 ti = "16/34004/34739"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34004/34739.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34004 ÷ 216
    34004 ÷ 65536     		x = 0.51885986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34739 ÷ 216
    34739 ÷ 65536     		y = 0.530075073242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51885986328125 × 2 - 1) × π
    0.0377197265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11850002
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.530075073242188 × 2 - 1) × π
    -0.060150146484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.188967258302261
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11850002} λ = 0.11850002}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.188967258302261))-π/2
    2×atan(0.827813610274034)-π/2
    2×0.691471879284855-π/2
    1.38294375856971-1.57079632675     		φ = -0.18785257
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11850002} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.789551°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18785257 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.763159°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34004 KachelY 34739 0.11850002 -0.18785257 6.789551 -10.763159
    Oben rechts KachelX + 1 34005 KachelY 34739 0.11859589 -0.18785257 6.795044 -10.763159
    Unten links KachelX 34004 KachelY + 1 34740 0.11850002 -0.18794675 6.789551 -10.768556
    Unten rechts KachelX + 1 34005 KachelY + 1 34740 0.11859589 -0.18794675 6.795044 -10.768556
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18785257--0.18794675) × R
    9.41799999999993e-05 × 6371000     		dl = 600.020779999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18785257--0.18794675) × R
    9.41799999999993e-05 × 6371000     		dr = 600.020779999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11850002-0.11859589) × cos(-0.18785257) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.982407531828808 × 6371000     		do = 600.042505596909m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11850002-0.11859589) × cos(-0.18794675) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.982389939387454 × 6371000     		du = 600.031760348885m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18785257)-sin(-0.18794675))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.982407531828808-0.982389939387454)×R²
    abs(0.11859589-0.11850002)×1.75924413542417e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.75924413542417e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.75924413542417e-05×40589641000000     		ar = 360034.748821446m²