Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34004 / 34327
↖ ↑ ↗
← S  8.532133°
E  6.789551°		 ← 604.03 m → S  8.532133°
E  6.795044°		 →
↑
604.10 m
↓
↑
604.10 m
↓
S  8.537566°
E  6.789551°		 ← 604.02 m →
364 890 m²		 S  8.537566°
E  6.795044°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34004 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34327 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518867492675781 y=0.523796081542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518867492675781 × 216)
    floor (0.518867492675781 × 65536)
    floor (34004.5)     		tx = 34004
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.523796081542969 × 216)
    floor (0.523796081542969 × 65536)
    floor (34327.5)     		ty = 34327
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34004 / 34327 ti = "16/34004/34327"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34004/34327.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34004 ÷ 216
    34004 ÷ 65536     		x = 0.51885986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34327 ÷ 216
    34327 ÷ 65536     		y = 0.523788452148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51885986328125 × 2 - 1) × π
    0.0377197265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11850002
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.523788452148438 × 2 - 1) × π
    -0.047576904296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.149467253015335
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11850002} λ = 0.11850002}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.149467253015335))-π/2
    2×atan(0.861166638168658)-π/2
    2×0.710941256697431-π/2
    1.42188251339486-1.57079632675     		φ = -0.14891381
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11850002} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.789551°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14891381 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.532133°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34004 KachelY 34327 0.11850002 -0.14891381 6.789551 -8.532133
    Oben rechts KachelX + 1 34005 KachelY 34327 0.11859589 -0.14891381 6.795044 -8.532133
    Unten links KachelX 34004 KachelY + 1 34328 0.11850002 -0.14900863 6.789551 -8.537566
    Unten rechts KachelX + 1 34005 KachelY + 1 34328 0.11859589 -0.14900863 6.795044 -8.537566
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14891381--0.14900863) × R
    9.48199999999955e-05 × 6371000     		dl = 604.098219999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14891381--0.14900863) × R
    9.48199999999955e-05 × 6371000     		dr = 604.098219999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11850002-0.11859589) × cos(-0.14891381) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.988932812828926 × 6371000     		do = 604.028067427594m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11850002-0.11859589) × cos(-0.14900863) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.98891874050394 × 6371000     		du = 604.019472223597m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14891381)-sin(-0.14900863))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988932812828926-0.98891874050394)×R²
    abs(0.11859589-0.11850002)×1.40723249852925e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.40723249852925e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.40723249852925e-05×40589641000000     		ar = 364889.684462635m²