Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34003 / 34606
↖ ↑ ↗
← S 10.044585°
E  6.784057°		 ← 601.49 m → S 10.044585°
E  6.789551°		 →
↑
601.42 m
↓
↑
601.42 m
↓
S 10.049994°
E  6.784057°		 ← 601.48 m →
361 746 m²		 S 10.049994°
E  6.789551°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34003 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34606 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518852233886719 y=0.528053283691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518852233886719 × 216)
    floor (0.518852233886719 × 65536)
    floor (34003.5)     		tx = 34003
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.528053283691406 × 216)
    floor (0.528053283691406 × 65536)
    floor (34606.5)     		ty = 34606
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34003 / 34606 ti = "16/34003/34606"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34003/34606.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34003 ÷ 216
    34003 ÷ 65536     		x = 0.518844604492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34606 ÷ 216
    34606 ÷ 65536     		y = 0.528045654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518844604492188 × 2 - 1) × π
    0.037689208984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11840414
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.528045654296875 × 2 - 1) × π
    -0.05609130859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.176216043003326
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11840414} λ = 0.11840414}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.176216043003326))-π/2
    2×atan(0.838436825358972)-π/2
    2×0.697742623414489-π/2
    1.39548524682898-1.57079632675     		φ = -0.17531108
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11840414} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.784057°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17531108 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.044585°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34003 KachelY 34606 0.11840414 -0.17531108 6.784057 -10.044585
    Oben rechts KachelX + 1 34004 KachelY 34606 0.11850002 -0.17531108 6.789551 -10.044585
    Unten links KachelX 34003 KachelY + 1 34607 0.11840414 -0.17540548 6.784057 -10.049994
    Unten rechts KachelX + 1 34004 KachelY + 1 34607 0.11850002 -0.17540548 6.789551 -10.049994
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17531108--0.17540548) × R
    9.43999999999945e-05 × 6371000     		dl = 601.422399999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17531108--0.17540548) × R
    9.43999999999945e-05 × 6371000     		dr = 601.422399999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11840414-0.11850002) × cos(-0.17531108) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.984672329699994 × 6371000     		do = 601.488549912243m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11840414-0.11850002) × cos(-0.17540548) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.984655860587808 × 6371000     		du = 601.47848973069m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17531108)-sin(-0.17540548))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984672329699994-0.984655860587808)×R²
    abs(0.11850002-0.11840414)×1.64691121857796e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.64691121857796e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.64691121857796e-05×40589641000000     		ar = 361745.66232015m²