Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34003 / 34337
↖ ↑ ↗
← S  8.586453°
E  6.784057°		 ← 604 m → S  8.586453°
E  6.789551°		 →
↑
603.97 m
↓
↑
603.97 m
↓
S  8.591884°
E  6.784057°		 ← 604 m →
364 799 m²		 S  8.591884°
E  6.789551°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34003 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34337 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518852233886719 y=0.523948669433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518852233886719 × 216)
    floor (0.518852233886719 × 65536)
    floor (34003.5)     		tx = 34003
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.523948669433594 × 216)
    floor (0.523948669433594 × 65536)
    floor (34337.5)     		ty = 34337
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34003 / 34337 ti = "16/34003/34337"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34003/34337.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34003 ÷ 216
    34003 ÷ 65536     		x = 0.518844604492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34337 ÷ 216
    34337 ÷ 65536     		y = 0.523941040039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518844604492188 × 2 - 1) × π
    0.037689208984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11840414
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.523941040039062 × 2 - 1) × π
    -0.047882080078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.150425991007736
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11840414} λ = 0.11840414}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.150425991007736))-π/2
    2×atan(0.860341400651349)-π/2
    2×0.710467226753239-π/2
    1.42093445350648-1.57079632675     		φ = -0.14986187
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11840414} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.784057°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14986187 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.586453°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34003 KachelY 34337 0.11840414 -0.14986187 6.784057 -8.586453
    Oben rechts KachelX + 1 34004 KachelY 34337 0.11850002 -0.14986187 6.789551 -8.586453
    Unten links KachelX 34003 KachelY + 1 34338 0.11840414 -0.14995667 6.784057 -8.591884
    Unten rechts KachelX + 1 34004 KachelY + 1 34338 0.11850002 -0.14995667 6.789551 -8.591884
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14986187--0.14995667) × R
    9.47999999999782e-05 × 6371000     		dl = 603.970799999861m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14986187--0.14995667) × R
    9.47999999999782e-05 × 6371000     		dr = 603.970799999861m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11840414-0.11850002) × cos(-0.14986187) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.98879171039239 × 6371000     		do = 604.004879704876m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11840414-0.11850002) × cos(-0.14995667) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.988777552162117 × 6371000     		du = 603.99623112896m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14986187)-sin(-0.14995667))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98879171039239-0.988777552162117)×R²
    abs(0.11850002-0.11840414)×1.41582302731758e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.41582302731758e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.41582302731758e-05×40589641000000     		ar = 364798.698928778m²