Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 34003 / 34245
↖ ↑ ↗
← S  8.086423°
E  6.784057°		 ← 604.78 m → S  8.086423°
E  6.789551°		 →
↑
604.74 m
↓
↑
604.74 m
↓
S  8.091862°
E  6.784057°		 ← 604.77 m →
365 728 m²		 S  8.091862°
E  6.789551°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34003 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34245 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518852233886719 y=0.522544860839844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518852233886719 × 216)
    floor (0.518852233886719 × 65536)
    floor (34003.5)     		tx = 34003
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.522544860839844 × 216)
    floor (0.522544860839844 × 65536)
    floor (34245.5)     		ty = 34245
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34003 / 34245 ti = "16/34003/34245"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34003/34245.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34003 ÷ 216
    34003 ÷ 65536     		x = 0.518844604492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34245 ÷ 216
    34245 ÷ 65536     		y = 0.522537231445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518844604492188 × 2 - 1) × π
    0.037689208984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11840414
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.522537231445312 × 2 - 1) × π
    -0.045074462890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.141605601477646
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11840414} λ = 0.11840414}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.141605601477646))-π/2
    2×atan(0.867963512515635)-π/2
    2×0.714830808003582-π/2
    1.42966161600716-1.57079632675     		φ = -0.14113471
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11840414} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.784057°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14113471 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.086423°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34003 KachelY 34245 0.11840414 -0.14113471 6.784057 -8.086423
    Oben rechts KachelX + 1 34004 KachelY 34245 0.11850002 -0.14113471 6.789551 -8.086423
    Unten links KachelX 34003 KachelY + 1 34246 0.11840414 -0.14122963 6.784057 -8.091862
    Unten rechts KachelX + 1 34004 KachelY + 1 34246 0.11850002 -0.14122963 6.789551 -8.091862
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14113471--0.14122963) × R
    9.49199999999983e-05 × 6371000     		dl = 604.735319999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14113471--0.14122963) × R
    9.49199999999983e-05 × 6371000     		dr = 604.735319999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11840414-0.11850002) × cos(-0.14113471) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.990057017794454 × 6371000     		do = 604.777794604082m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11840414-0.11850002) × cos(-0.14122963) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.9900436612576 × 6371000     		du = 604.769635743777m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14113471)-sin(-0.14122963))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990057017794454-0.9900436612576)×R²
    abs(0.11850002-0.11840414)×1.3356536853637e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.3356536853637e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.3356536853637e-05×40589641000000     		ar = 365728.026447815m²