Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 34001 / 34162
↖ ↑ ↗
← S  7.634776°
E  6.773071°		 ← 605.44 m → S  7.634776°
E  6.778565°		 →
↑
605.37 m
↓
↑
605.37 m
↓
S  7.640220°
E  6.773071°		 ← 605.43 m →
366 512 m²		 S  7.640220°
E  6.778565°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34001 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34162 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518821716308594 y=0.521278381347656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518821716308594 × 216)
    floor (0.518821716308594 × 65536)
    floor (34001.5)     		tx = 34001
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.521278381347656 × 216)
    floor (0.521278381347656 × 65536)
    floor (34162.5)     		ty = 34162
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34001 / 34162 ti = "16/34001/34162"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34001/34162.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34001 ÷ 216
    34001 ÷ 65536     		x = 0.518814086914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34162 ÷ 216
    34162 ÷ 65536     		y = 0.521270751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518814086914062 × 2 - 1) × π
    0.037628173828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11821239
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.521270751953125 × 2 - 1) × π
    -0.04254150390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.133648076140717
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11821239} λ = 0.11821239}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.133648076140717))-π/2
    2×atan(0.87489790787968)-π/2
    2×0.718772174610227-π/2
    1.43754434922045-1.57079632675     		φ = -0.13325198
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11821239} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.773071°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.13325198 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.634776°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34001 KachelY 34162 0.11821239 -0.13325198 6.773071 -7.634776
    Oben rechts KachelX + 1 34002 KachelY 34162 0.11830827 -0.13325198 6.778565 -7.634776
    Unten links KachelX 34001 KachelY + 1 34163 0.11821239 -0.13334700 6.773071 -7.640220
    Unten rechts KachelX + 1 34002 KachelY + 1 34163 0.11830827 -0.13334700 6.778565 -7.640220
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.13325198--0.13334700) × R
    9.50200000000012e-05 × 6371000     		dl = 605.372420000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.13325198--0.13334700) × R
    9.50200000000012e-05 × 6371000     		dr = 605.372420000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11821239-0.11830827) × cos(-0.13325198) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.991135083754435 × 6371000     		do = 605.436332791274m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11821239-0.11830827) × cos(-0.13334700) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.991122455113777 × 6371000     		du = 605.428618567438m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.13325198)-sin(-0.13334700))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.991135083754435-0.991122455113777)×R²
    abs(0.11830827-0.11821239)×1.26286406585407e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.26286406585407e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.26286406585407e-05×40589641000000     		ar = 366512.123224395m²